Jordansche Normalform Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mi 12.07.2006 | | Autor: | TwoPi |
Hallo,
ich wollte mich mal vergewissern ob ich die Sache mit den Basen zu Jordanschen Normalformen richtig verstanden habe...
Also wenn ich eine Matrix gegeben habe und die JNF samt Basis (bzw. Basiswechselmatrix, ist ja dasselbe oder?) berechnen soll, kann ich doch folgendermaßen vorgehen:
1. charakteristisches Polynom bestimmen
2. Basen der Eigenräume von jedem Eigenwert bestimmen
3. diese Basen zu Basen der Haupträume ergänzen, aber so, dass die ergänzten Vektoren nicht im Eigenraum sind
Wenn ich dann alle Vektoren als Spalten eine Matrix schreibe, habe ich dann die Basiswechselmatrix, oder?
Ich will nur mal wissen, ob das so stimmt, wie ich das beschrieben habe und ob das immer so anwendbar ist, oder nur in bestimmten spezialfällen...
Danke!
TwoPi
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Hallo!
> Also wenn ich eine Matrix gegeben habe und die JNF samt
> Basis (bzw. Basiswechselmatrix, ist ja dasselbe oder?)
Nunja, streng genommen sind eine Basis und eine Matrix nicht dasselbe. Nur der Rechenweg, um sie zu erhalten, ist in diesem Fall tatsächlich derselbe.
> 1. charakteristisches Polynom bestimmen
> 2. Basen der Eigenräume von jedem Eigenwert bestimmen
> 3. diese Basen zu Basen der Haupträume ergänzen, aber so,
> dass die ergänzten Vektoren nicht im Eigenraum sind
Zu 3. habe ich noch eine Anmerkung: Du kannst die Basis des Eigenraum nicht einfach zu einer Basis des Hauptraumes ergänzen, und zwar aus zwei Gründen: Zum einen kennst du den Hauptraum ja noch gar nicht. Und zum zweiten brauchst du ja eine ganz bestimmte Basis, damit die Jordan-Kästchen zustande kommen. Ein Beispiel aus dem zweidimensionalen:
Betrachte die Matrix [mm] $A:=\pmat{\lambda&1\\0&\lambda}$. [/mm] Diese Matrix ist bereits in JNF, die zugehörige Basiswechselmatrix ist also die Identität, die Basis somit [mm] $\left\{e_1=\vektor{1\\0};e_2=\vektor{0\\1}\right\}$. [/mm] Es gilt:
[mm] $Ae_1=\lambda e_1$ [/mm] und [mm] $Ae_2=e_1+\lambda e_2$.
[/mm]
Insbesondere ist [mm] $(A-\lambda)e_2=e_1$. [/mm] Das ist die notwendige Bedingung für deine Hauptvektoren, damit du die JNF erhältst! Du berechnest also einen Eigenvektor [mm] $v_1$ [/mm] zum Eigenwert [mm] $\lambda$, [/mm] dann löst du [mm] $(A-\lambda)v_2=v_1$ [/mm] um an den Hauptvektor zu kommen.
> Wenn ich dann alle Vektoren als Spalten eine Matrix
> schreibe, habe ich dann die Basiswechselmatrix, oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") So ist es!
> Ich will nur mal wissen, ob das so stimmt, wie ich das
> beschrieben habe und ob das immer so anwendbar ist, oder
> nur in bestimmten spezialfällen...
Nein, das sollte eigentlich immer so funktionieren, solange du nicht an reelle Matrizen gebunden bist, da ja komplexe Eigenwerte auftauchen können.
Gruß, banachella
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