Jordansche Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe folgende Aufgabe:
Bestimmen sie über R (reelles R) eine invertierbare 4 x 4 Matrix T und eine Matrix B in Jordanscher Normalform mit T (hoch -1) * A * T = B für
2 -1 1 -2
A= 0 2 0 0
0 -2 0 4
0 -1 -1 4
Das charakteristische Polynom ist pA = (x-2) (hoch 4).
Jetzt weiß ich zwar schon, wie meine Jordansche Normalform eigentlich aussehen muss, ich weiß aber nicht im geringsten wie ich auf die Matrix T kommen soll. Irgendwie über die Basisvektoren, aber ich weiß gar nicht, wie ich die bestimmen soll. Dankbar für jede Anregung :)
|
|
| |
|
Gruß!
Also, das charakteristische Polynom hast Du schon. Jetzt mußt Du "nur" noch die Matrix des Basiswechsels bestimmen.
Rollen wir die Theorie doch noch mal auf. In unserem Fall ist [mm] (A - 2 \cdot E_4) [/mm] nilpotent (folgt aus Cayley-Hamilton), das heißt der verallgemeinerte Eigenraum zum Eigenwert 2 ist der ganze Vektorraum. Dem entspricht die Tatsache, dass es in der Jordanform nur ein Kästchen gibt.
Nun fehlen noch die möglichen 1en auf der Nebendiagonalen. Dazu betrachten wir die Matrix [mm] N = (A - 2 \cdot E_4) [/mm] etwas genauer. Wenn das homogene Gleichungssystem (N,0) gelöst wird, gibt uns dies schon mal eine Basis des Kerns von N (der aufgrund der Nilpotenz nicht trivial sein kann). Dieser Kern ist enthalten im Kern von [mm] N^2 [/mm], daher kann man diese gefundene Basis zu einer Basis von [mm] ker \; N^2[/mm] ergänzen und so weiter.
Am Ende der Prozedur haben wir eine Basis [mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] von [mm] \IR^4 [/mm] bezüglich der die Matrix A die gewünschte Form (Jordan-Form) hat, wenn sie in der richtigen Reihenfolge notiert wird. T ist nun einfach die Matrix des Basiswechsels von der Standardbasis in die neue - oder weniger kompliziert ausgedrückt ist T genau die Matrix, die diese Vektoren als Spalten hat.
Ich hoffe, das hilft - viel Spaß beim Ausrechnen!
Gnometech
|
|
|
| |
|
Hm, so 100% leuchtet mir das noch nicht ein.
Also ich hab die Matrix (A-2E) bestimmt und auch den Kern davon. Der ist der Spann von 2 Vektoren.
Problem ist jetzt nur, dass (A-2E)² , (A-2E)³ usw. immer =0 ist, wie bestimme ich denn davon den Kern??
Und die zwei Vektoren die ich schon raushab, die bilden doch schon mal v1 und v2 oder hab ich das falsch verstanden??
Und welche Reihenfolge genau ist die richtige??
Lieben Gruß
|
|
|
| |
|
Wenn [mm] (A - 2 \cdot E_4)^2 = 0[/mm], dann folgt doch, dass für diese Abbildung der Kern ganz [mm] \IR^4[/mm] ist... also mußt Du Deine beiden Vektoren nur irgendwie zu einer Basis ergänzen und dann hast Du es schon geschafft. :)
Wenn die Vektoren, die den Kern aufspannen u und v heißen und Du die mit w und x zu einer Basis ergänzt hast, dann nehme als Spalten von P einfach u, x, v und w in dieser Reihenfolge. Und schon hast Du die Jordanform mit insgesamt 2 1en auf der Nebendiagonalen.
Gnometech
|
|
|
|
