Jordansche NF (richtig so?) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zur Bestimmung des Minimalpolynoms m:
In Frage für m kommen ja nur folgende Polynome:
[mm] f_1 [/mm] = -(2+x)
[mm] f_2 [/mm] = [mm] -(2+x)^2
[/mm]
[mm] f_3 [/mm] = [mm] -(2+x)^3
[/mm]
[mm] f_4 [/mm] = [mm] -(2+x)^4
[/mm]
[mm] f_5 [/mm] = p
Aus [mm] f_1(A) \not= [/mm] 0, [mm] f_2(A) \not=0, f_3(A) [/mm] = 0 folgt, dass das Minimalpolynom [mm] f_3 [/mm] = [mm] -(2+x)^3 [/mm] sein muss.
Zur Bestimmung der Jordanschen Normalform:
Ganz kurz das "Schema", welches ich mir aus einigen Büchern zusammengeschrieben habe:
1. Schritt: charakteristisches Polynom finden (habe ich ja schon)
2. Schritt: Eigenwerte bestimmen
3. Schritt: Rang(A - id * [mm] c_i) [/mm] gibt mir Größe des Jordankästchens zum Eigenwert [mm] c_i.
[/mm]
Nun übertragen auf die Aufgabe:
Einziger Eigenwert ist c = -2.
Rang(A - id (-2)) = 3
Daraus folgt, dass die Jordansche Normalform aus einem Jordankästchen der Dimension 3 (3x3) besteht und wie folgt aussieht:
[mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 }
[/mm]
Stimmt das so? In manchen Aufgaben/Büchern sind die "Einsen" mal über und mal unter der Diagonalen zu finden - wieso?
Nachtrag: Habe gelesen, dass die Determinante der Jordanschen Normalform einer Matrix gleich der Determinante der Matrix sein müsste. Dies ist bei meiner Lösung leider nicht der Fall. Die Determinante der Matrix A ist -32 und die Determinante meiner Jordanschen Normalform ist -8. Scheint also was faul zu sein...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo abi2007LK,
> Hallo,
>
> folgende Aufgabe:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Zur Bestimmung des Minimalpolynoms m:
>
> In Frage für m kommen ja nur folgende Polynome:
> [mm]f_1[/mm] = -(2+x)
> [mm]f_2[/mm] = [mm]-(2+x)^2[/mm]
> [mm]f_3[/mm] = [mm]-(2+x)^3[/mm]
> [mm]f_4[/mm] = [mm]-(2+x)^4[/mm]
> [mm]f_5[/mm] = p
>
> Aus [mm]f_1(A) \not=[/mm] 0, [mm]f_2(A) \not=0, f_3(A)[/mm] = 0 folgt, dass
Die 3 nennt man hier auch den Nilpotenzgrad.
Daraus folgt wiederum, daß der größte Jordanblock die Größe 3 haben muß.
> das Minimalpolynom [mm]f_3[/mm] = [mm]-(2+x)^3[/mm] sein muss.
>
> Zur Bestimmung der Jordanschen Normalform:
> Ganz kurz das "Schema", welches ich mir aus einigen
> Büchern zusammengeschrieben habe:
>
> 1. Schritt: charakteristisches Polynom finden (habe ich ja
> schon)
> 2. Schritt: Eigenwerte bestimmen
> 3. Schritt: Rang(A - id * [mm]c_i)[/mm] gibt mir Größe des
> Jordankästchens zum Eigenwert [mm]c_i.[/mm]
>
> Nun übertragen auf die Aufgabe:
>
> Einziger Eigenwert ist c = -2.
> Rang(A - id (-2)) = 3
>
> Daraus folgt, dass die Jordansche Normalform aus einem
> Jordankästchen der Dimension 3 (3x3) besteht und wie folgt
> aussieht:
Aus der Dimension des Kern(A+2I) kann ich schliessen, daß es ebensoviele Jordanblöcke gibt.
>
> [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 }[/mm]
Das ist nur die halbe Wahrheit.
Es gibt einen größten Jordanblock der Größe 3 und 2 Jordanblöcke.
Da gibt dann nur noch eine Möglichkeit:
[mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2}[/mm]
>
> Stimmt das so? In manchen Aufgaben/Büchern sind die
> "Einsen" mal über und mal unter der Diagonalen zu finden -
> wieso?
Das hängt von der Reihenfolge ab, wie die Eigenvektoren in die Transformationsmatrix eingetragen werden.
>
> Nachtrag: Habe gelesen, dass die Determinante der
> Jordanschen Normalform einer Matrix gleich der Determinante
> der Matrix sein müsste. Dies ist bei meiner Lösung leider
> nicht der Fall. Die Determinante der Matrix A ist -32 und
> die Determinante meiner Jordanschen Normalform ist -8.
> Scheint also was faul zu sein...
>
Jo, da ist wohl was faul im Staate Dänemark.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Sajuri |
Hallo abi2007LK,
MathePower hat dir schon richtige Jordansche Normalform von A genannt.
Ich will nur kurz ergänzen und zeigen, wie wir das beim Tutorium gemacht haben.
Verfahren:
a) bestimme das Charackteristische Polynom. In deinem Fall war das schon gegeben.
p [mm] =-(2+x)^{5} [/mm]
b) bestimme das Minimalpolynom: In deiner Aufgabe hat es Form
m [mm] =(2+x)^{s} [/mm] mit [mm] 1\le [/mm] s [mm] \ge5
[/mm]
bestimme s:
# (A+2E)=
[mm] U_{1}= Kern(F+2id_{v}), [/mm] (F ist Endomorphismus). Das ist Lösungsraum der Matrix (A+2E)
bestimmen dimension von [mm] Kern(F+2id_{v}) [/mm] (=2)
# [mm] (A+2E)^{2}=
[/mm]
[mm] U_{2}= Kern(F+2id_{v})^{2} [/mm]
bestimmen dimension von [mm] Kern(F+2id_{v})^{2} [/mm] (=4)
# [mm] (A+2E)^{3}=
[/mm]
[mm] U_{3}= Kern(F+2id_{v})^{3} [/mm]
bestimmen dimension von [mm] Kern(F+2id_{v})^{3} [/mm] (=5)
# [mm] (A+2E)^{4}=
[/mm]
[mm] U_{4}= Kern(F+2id_{v})^{4} [/mm]
bestimmen dimension von [mm] Kern(F+2id_{v})^{4} [/mm] (=5)
das machst du bis du zwei gleiche Dimensionenzahl kriegst. In deinem Fall dimension von [mm] U_{4}=5 [/mm] und Dimension von [mm] U_{3}=5 \Rightarrow [/mm] deine s ist gleich 3 [mm] \Rightarrow [/mm] Minimalpolynom m [mm] =(2+x)^{3}
[/mm]
c) p [mm] =-(2+x)^{5} \Rightarrow [/mm] c = -2 (Eigenwert), r=5(Länge der Jordanblock). Das heißt, dass es nur 1 Jordanblock mit der Länge 5 gibt.
m [mm] =(2+x)^{3} \Rightarrow [/mm] es gibt genau ein (weil der Länge von JB 5 ist) Jordankästchen der Maximallänge s=3.
[mm] q_{1} [/mm] - Kästchen der Länge s
[mm] q_{2}- q_{1} [/mm] - Kästchen der Länge s-1
[mm] q_{3}- q_{2} [/mm] - Kästchen der Länge s-2
usw.
Innerhalb ses Jordan_blockes zum eigenwer c gibt es
2 dim [mm] Kern(F-c*id_{v})^{l}-dim Kern(F-c*id_{v})^{l+1}-dim Kern(F-c*id_{v})^{l-1} [/mm] Jordan-Kästchen der länge l, l=1,...,s.
In deiner Aufgabe s=3 [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt mindestens! ein Jordankästchen der Maximallänge s=3 [mm] \Rightarrow q_{1}=1 [/mm] (d.h. es gibt ein Kästchen der Länge 3)
Weiter müssen wir bestimmen, wie sieht verblibener Teil der JNF aus:
[mm] q_{2} [/mm] =2 dim [mm] Kern(F+2id_{v})^{2}-dim Kern(F+2id_{v})^{3}-dim Kern(F+2id_{v})^{1}=8-5-2=1 \Rightarrow [/mm] es gibt noch 1 Kästchen der Länge 2.
Also: Es gibt insgesamt 1 Jordan-Block.
2 Kästchen:
1JK: Länge 3
2JK: Länge 2
Fertig
LG, Sajuri
|
|
|
|
