Jordankästchen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 So 13.12.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | Sei B [mm] \in M_d(K) [/mm] ein Jordan-Kästchen zum Eigenwert [mm] \lambda, [/mm] d.h.
[mm] B=\pmat{ \lambda & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & ... & 0 & \lambda & 1 \\0 & 0 & ... & 0 & \lambda}.
[/mm]
Man zeige für i = 1, . . . , d:
(1) rg(B − [mm] \lambda*E_d)^i [/mm] = d − i
(2) def(B − [mm] \lambda*E_d)^i [/mm] = i. |
Hallo,
also son paar Fragen hätte ich zu dieser Aufgabe mal...
Also der def ist erstmal die dim(ker) und der rg die dim(bild). Wenn ich jetzt diese beiden Sachen miteinander addiere müsste ich ja die dim V bekommen also in diesem Fall d. Damit folgt natürlich wenn def i ist, dann ist der rg d-i. Nur jetzt meine Frage, wie komme ich auf dieses i. Dachte irgendwie, da es ja die dim(ker(den verallgemeinerten eigenräumen) ist und so d-1 sein muss, da es ja die anzahl zu dem Jordankästchen ist, oder lieg ich da grad falsch. wäre jedenfalls nett wenn mir jemanden sagen könnte, wie ich auf def=i komme.
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 So 13.12.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sei B [mm]\in M_d(K)[/mm] ein Jordan-Kästchen zum Eigenwert
> [mm]\lambda,[/mm] d.h.
> [mm]B=\pmat{ \lambda & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & ... & 0 & \lambda & 1 \\0 & 0 & ... & 0 & \lambda}.[/mm]
>
> Man zeige für i = 1, . . . , d:
> (1) rg(B − [mm]\lambda*E_d)^i[/mm] = d − i
> (2) def(B − [mm]\lambda*E_d)^i[/mm] = i.
> Hallo,
> also son paar Fragen hätte ich zu dieser Aufgabe mal...
> Also der def ist erstmal die dim(ker) und der rg die
> dim(bild). Wenn ich jetzt diese beiden Sachen miteinander
> addiere müsste ich ja die dim V bekommen also in diesem
> Fall d. Damit folgt natürlich wenn def i ist, dann ist der
> rg d-i.
Richtig, (1) und (2) sind äquivalent denn rg(A)+def(A)=dim(V)=d.
> Nur jetzt meine Frage, wie komme ich auf dieses i.
> Dachte irgendwie, da es ja die dim(ker(den
> verallgemeinerten eigenräumen) ist und so d-1 sein muss,
> da es ja die anzahl zu dem Jordankästchen ist, oder lieg
> ich da grad falsch. wäre jedenfalls nett wenn mir jemanden
> sagen könnte, wie ich auf def=i komme.
Verstehe ich nicht... ist auf jeden Fall falsch. Schreib doch einfach mal hin wie [mm] $B-\lambda*E_d$ [/mm] aussieht, und dann berechne davon die zweite, dritte, vierte Potenz usw. Dann fällt dir sicher was auf...
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 So 13.12.2009 | | Autor: | Fawkes |
jops, hat sich alles geklärt :)
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