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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 So 25.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Jordansche Normalform der folgenden nilpotenten Matrix und berechnen Sie eine Basis, bezüglich welcher die Matrix der Abbildung f = [mm] f_{A} [/mm] in Jordanblöcke zerfällt.
[mm] \pmat{ -5 & 6 & 0 & 5 & -2 & -3 \\ -5 & 9 & 1 & 5 & -4 & -5 \\ -2 & 4 & 0 & 2 & -2 & -2 \\ -4 & 4 & 0 & 4 & -1 & -2 \\ -2 & 4 & 0 & 2 & -2 & -2 \\ -6 & 11 & 1 & 6 & -5 & -6}
[/mm]
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Ich habe als JNF bereits ausgerechnet [mm] \delta_{3} \oplus \delta_{2} \oplus \delta_{1} [/mm] also Jordanblöcke der größe 3,2 und 1.
Dann habe ich mich am Kochrezept (http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf) langgehangelt und ausgerechnet, dass
Ker(A-Id)= [mm] \pmat{ -6 & 6 & 0 & 5 & -2 & -3 \\ -5 & 8 & 1 & 5 & -4 & -5 \\ -2 & 4 & -1 & 2 & -2 & -2 \\ -4 & 4 & 0 & 3 & -1 & -2 \\ -2 & 4 & 0 & 2 & -3 & -2 \\ -6 & 11 & 1 & 6 & -5 & -7}
[/mm]
[mm] Ker(A-Id)^{2} [/mm] = [mm] \pmat{-7 & 4 & 3 & -7 & 4 & 3 \\ 6 & -13 & 2 & -6 & 8 & 6 \\ 2 & -6 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 6 & -6 & 2 & -5 & 2 & 2 \\ 2 & -6 & 2 & -2 & 5 & 2 \\ 7 & -17 & 3 & -7 & 10 & 8}
[/mm]
und [mm] Ker(A-Id)^3= [/mm] Nullmatrix
nun wäre n kleiner denkanstoß toll der mich drauf bringt wie die in dem Kochrezept das ganze in die andere Schreibweise überführen. Also die Vektoren da rausziehen. (seite 3 mitte)
[mm] Ker(A-Id)^3 [/mm] = [mm] \IR^6 [/mm] is ja klar, aber der rest is für mich total unklar.
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Hallo maxi85,
> Bestimmen Sie die Jordansche Normalform der folgenden
> nilpotenten Matrix und berechnen Sie eine Basis, bezüglich
> welcher die Matrix der Abbildung f = [mm]f_{A}[/mm] in Jordanblöcke
> zerfällt.
>
> [mm]\pmat{ -5 & 6 & 0 & 5 & -2 & -3 \\ -5 & 9 & 1 & 5 & -4 & -5 \\ -2 & 4 & 0 & 2 & -2 & -2 \\ -4 & 4 & 0 & 4 & -1 & -2 \\ -2 & 4 & 0 & 2 & -2 & -2 \\ -6 & 11 & 1 & 6 & -5 & -6}[/mm]
>
> Ich habe als JNF bereits ausgerechnet [mm]\delta_{3} \oplus \delta_{2} \oplus \delta_{1}[/mm]
> also Jordanblöcke der größe 3,2 und 1.
>
> Dann habe ich mich am Kochrezept
> (http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf)
> langgehangelt und ausgerechnet, dass
>
> Ker(A-Id)= [mm]\pmat{ -6 & 6 & 0 & 5 & -2 & -3 \\ -5 & 8 & 1 & 5 & -4 & -5 \\ -2 & 4 & -1 & 2 & -2 & -2 \\ -4 & 4 & 0 & 3 & -1 & -2 \\ -2 & 4 & 0 & 2 & -3 & -2 \\ -6 & 11 & 1 & 6 & -5 & -7}[/mm]
>
> [mm]Ker(A-Id)^{2}[/mm] = [mm]\pmat{-7 & 4 & 3 & -7 & 4 & 3 \\ 6 & -13 & 2 & -6 & 8 & 6 \\ 2 & -6 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 6 & -6 & 2 & -5 & 2 & 2 \\ 2 & -6 & 2 & -2 & 5 & 2 \\ 7 & -17 & 3 & -7 & 10 & 8}[/mm]
>
> und [mm]Ker(A-Id)^3=[/mm] Nullmatrix
Ok. Der größte Jordanblock hat also die Länge 3.
Berechne jetzt den Kern[mm]\left(A\right)[/mm].
Also die Lösungen von [mm]A*x=0[/mm].
Dies gibt Dir die Anzahl der Jordanblöcke.
Dann weisst Du hier an dieser Stelle, wie die JNF aussieht.
>
> nun wäre n kleiner denkanstoß toll der mich drauf bringt
> wie die in dem Kochrezept das ganze in die andere
> Schreibweise überführen. Also die Vektoren da rausziehen.
> (seite 3 mitte)
Welche andere Schreibweise?
>
> [mm]Ker(A-Id)^3[/mm] = [mm]\IR^6[/mm] is ja klar, aber der rest is für mich
> total unklar.
Zum bestimmen des Kernes von [mm]A^{2}[/mm]:
Löse das entsprechende Gleichungssystem [mm]A^{2}*x=0[/mm]
Gruß
MathePower
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