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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo allerseits,
ich versteh nicht, was ich bei der folgenden Aufgabe falsch gemacht hab. Ich hoffe, es kann jemand meinen Fehler finden. Danke.
Aufgabe:
Geg sei die Matrix A [mm] \in \IR^{3,3}, [/mm] A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 3}
[/mm]
Man soll jetzt die Jordansche Normalform [mm] J_{A} [/mm] für A und die Transformationsmatrix S angeben, so dass [mm] SAS^{-1} [/mm] = [mm] J_{A} [/mm] ist.
Ich bin nach Rezept vorgegangen, wie wir es in der Vorlesung gelernt haben, aber irgendwie klappt das nicht. Ich weiß nicht, warum....
Zuerst hab ich A transponiert und erhalte B= [mm] A^{t}= \pmat{ 2 & 0 & -0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3} [/mm]
Dann hab ich das char. Polynom berechnet [mm] p_{B} [/mm] = [mm] \vmat{ 2-t & 0 & 0 \\ 1 & 1-t & -1 \\ -1 & 1 & 3-t } [/mm] = [mm] -(t-2)^{3} [/mm] Also ist 2 ein Eigenwert, und 3-fache Nullstelle (algeb. Vielfachheit)
Sei nun g: = f - 2 id ( f ist Endomorphismus) Dann ist: 0 [mm] \subset [/mm] kerg [mm] \subset kerg^{2} \subset kerg^{3} [/mm] = [mm] \IR^{3}
[/mm]
Ziel: Basis von [mm] \IR^{3}
[/mm]
Ges.: Basen von kerg und [mm] kerg^{2}
[/mm]
Dann hab ich C=B-2E berechnet : [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 } [/mm] das ist die darst. Matrix von g.
[mm] C^{2} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & -2 & -2 \\ -2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] ist darst. Matrix von [mm] g^{2} [/mm]
Kerg und [mm] kerg^{2} [/mm] sind Lsg eines linearen GLS. Cx=0
Es kommt bei mir folgendes heraus:
Basis von kerg = < [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] >
und [mm] kerg^{2} [/mm] hat dieselbe Basis < [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] >. Also ist kerg = [mm] kerg^{2} [/mm]
Für die Basis von [mm] \IR^{3} [/mm] gilt: [mm] \IR^{3} [/mm] = [mm] kerg^{3} \oplus
Ich hab jetzt einfach [mm] x_{1}= \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] gesetzt. Dieser Vektor ist linear unahb. zu < [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] >. Also bilden diese 3 Vektoren eine Basis von [mm] \IR^{3}, [/mm] und sind die Eigenvektoren. Stimmt das??? Da bin ich mir unsicher. Aber unser Prof hat das in der Vorlesung auch so gemacht, dass er einfach einen lin. unahb. Vektor zu den anderen beiden Basisvekotren gewählt hat.
Diese 3 Vektoren sind nun die Spalten von einer Matrix T = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }. [/mm] Die gesuchte Transformationsmatrix S := [mm] T^{t} [/mm] (also T trasnponiert) also S = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 } [/mm] Dann hab ich [mm] S^{-1} [/mm] bestimmt. Es kommt heraus: [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 }. [/mm] Ich hab nachgeprüft, es kommt tatsächlich [mm] SS^{-1} [/mm] = E heraus.
Für die Jordansche Normalform [mm] J_{A} [/mm] müsste ja eigentlich normalerweise das heraukommen: [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }. [/mm] Der 3-fache EW 2 taucht in der Diagonale auf.
Aber bei mir kommt nach Ausrechnen von [mm] SAS^{-1} [/mm] das heraus: [mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Wo liegt da mein Fehler. Ich hab alles nach Kochrezept gemacht. Aber es kommt bei mir nicht das richtige Ergebnis heraus.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen und nachprüfen, wo mein Fehlre liegt.
Danke schön, Moe 007
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Di 24.05.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Julius,
vielen Dank für deine Hilfe. Ich hab mich bei der Matrix [mm] C^{2} [/mm] echt verrechnet. Da kommt die Nullmatrix heraus, stimmt das??
Ich versteh aber nicht ganz, was du damit meinst, dass [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] auch im Kern von g liegt und nicht in der lineareb Hülle. Der Vektor ist doch lin. unabh. zu < [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] > oder nicht? Wenn der Vektor in der linearen Hülle dieser 2 Vektoren liegen soll, dann wär er doch lin. abh. von den beiden Vektoren oder versteh ich das irgendwie falsch??  Weil die lineare Hülle ist doch die Menge aller Linearkombinationen.
Ich hab jetzt einfach statt [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] den Vektor gewählt [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] und bin nach Kochrezept weitergegangen, sprich die Matrix T bestimmt T= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }, [/mm] dann die ges. Matrix S := [mm] T^{t} [/mm] (T transponiert). Dann hab ich [mm] S^{-1} [/mm] berechnet [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm]
Dann hab ich [mm] SAS^{-1} [/mm] berechnet und es kommt das heraus: [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 } [/mm]
Es kommt einfach keine Jordanmatrix heraus, ich versteh nicht, was ich falsch gemacht hab *seufz bei mir ist die [mm] s_{2,3} [/mm] = 0, es muss aber doch dort eine 1 stehen....
Kann das sein, dass ich dei der Wahl des 3. Basisvektors von [mm] \IR^{3} [/mm] die falsche Wahl getroffen hab?
Ich hoffe, du hilfst mit weiter.
Vielen Dank,
Gruß Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Di 24.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Moe!
> vielen Dank für deine Hilfe. Ich hab mich bei der Matrix
> [mm]C^{2}[/mm] echt verrechnet. Da kommt die Nullmatrix heraus,
> stimmt das??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich versteh aber nicht ganz, was du damit meinst, dass
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] auch im Kern von g liegt
Das war natürlich Blödsinn von mir.
Ich verbessere meine Antwort und denke noch einmal darüber nach.
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Di 24.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Moe!
Es ist doch alles in Ordnung!
> Dann hab ich [mm]SAS^{-1}[/mm] berechnet und es kommt das heraus:
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
> Es kommt einfach keine Jordanmatrix heraus, ich versteh
> nicht, was ich falsch gemacht hab *seufz
Gar nichts. Das ist eine Jordanmatrix, wenn du die Reihenfolge der Basisvektoren vertauschst. Vertausche mal die drei Basisvekoren $(1,2,3) [mm] \to [/mm] (2,3,1)$. Dann erhältst du die Matrix
[mm] $\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2}$.
[/mm]
Und das ist die Matrix, die du haben willst!!! Beachte bitte, dass du zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert $2$ hast. Daher hast du nur eine $1$ in der Jordanmatrix.
Viele Grüße
Julius
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