Jordan Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Moe007 |
Habe die Matrix:
[mm] \pmat{ -10 & 0 & 16 \\ 0 & 3 & 0\\ -9 & 0 & 14}
[/mm]
Wie finde ich die Jordan Normalform. Maple sagt, es gibt Sie.
Folgendes weiß ich: Eigenwerte sind 3 und 2.
3 hat die algebraische Vielfachheit 1
2 hat die algebraische Vielfachheit 2
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 11:50 So 17.09.2006 | | Autor: | BKM |
Hallo und guten Morgen.
Meine Lösung für die gestellte Frage sieht, wenn ich Sie richtig verstanden habe, sieht wie folgt aus:
[img][url=1]
BKM
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 So 17.09.2006 | | Autor: | BKM |
Hallo.
Leider hat es mit dem Hochladen der Datei ( Anhang ) nicht funktioniert. Lag an mir. Ziehe meine Antwort zurück. BKM
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 So 17.09.2006 | | Autor: | ullim |
Da Du ja die Eigenwerte von A und deren Vielfachheit kennst
und jede Jordanmatrix J das Aussehen
J = [mm] \pmat{ J_1 & & \\ & ... & \\ & & J_n } [/mm] mit Jordanblöcke [mm] J_i [/mm] besitzt
und jeder Jordanblock [mm] J_i [/mm] die Gestalt
[mm] J_i [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda_i & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & ... & \lambda_i & 1 \\ 0 & ... & ... & ... & \lambda_i }
[/mm]
mit [mm] \lambda_i [/mm] Eigenwert von A hat [mm] \Rightarrow
[/mm]
Die Jordanblöcke haben das Aussehen
[mm] J_1 [/mm] = 3 und
[mm] J_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 } [/mm]
da 3 die Vielfachheit 1 und 2 die Vielfachheit 2 hat [mm] \Rightarrow
[/mm]
und die Jordansche Normalform sieht folgendermaßen aus
J = [mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
mfg
ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 So 17.09.2006 | | Autor: | Moe007 |
Wie erhalte ich die Matrizen S und S^(-1) so dass gilt: J = S x A x S^(-1). Über das Aussehen der Matrix J sind wir uns einig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 17.09.2006 | | Autor: | Moe007 |
Das allgemeine Kochrezept ist klar. Nur bei dieser speziellen Matrix scheitere ich mit allen Kochrezepten. Es würde mir schon die Matrix S reichen, die Inverse kann ich dann schon selbst bestimmen.
Eigentlich habe ich eine Lösung für S^(-1):
[mm] \pmat{ 0 & 4 & -1/3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 }
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 3} [/mm] sind Eigenvektoren von A. Den Vektor [mm] \vektor{-1/3 \\ 0 \\ 0} [/mm] habe ich mit Maple erraten.
Bestimmt man nun noch S erhält man für J = [mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Das Entscheidende ist der dritte Vektor, bzw. wie ich ihn mathematisch errechnen kann.
Danke & Gruß Meo007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mo 18.09.2006 | | Autor: | ullim |
Wenn Du nach der geposteten Aneitung von Kuebi vorgehst, bekommst Du für [mm] \lambda [/mm] = 2
(A - [mm] \lambda*I)^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
D.h Du hast zwei Basisvektoren für Kern(A - [mm] \lambda*I)^2
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Hiervon suchst Du dir einen aus der nicht in
Kern (A - [mm] \lambda*I) [/mm] liegt. Also z.B. [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Einen zweiten Basisvektor bekommst Du nach der Anleitung durch (A - [mm] \lambda*I)* \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{-12 \\ 0 \\ -9}
[/mm]
Daraus ergibt sich die Matrix S = [mm] \pmat{ -12 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -9 & 0 & 0 }
[/mm]
und [mm] S^{-1} [/mm] * A * S ergibt [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }
[/mm]
die von Dir angegebenen Vektoren erhälts Du durch teilen durch -3
mfg
ullim
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