Jordan Basis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mi 23.06.2010 | | Autor: | alina00 |
| Aufgabe | A [mm] \in R^5^x^5 [/mm] hat die Eigenwerte 1 und 3. Bestimmen Sie die erhähten Eigenräume und eine Matrix C, sodass [mm] C^{-1}AC=J
[/mm]
J ist die Jordanmatrix. |
Hallo, die Frage ich wirklich sehr sehr wichtig, ich habe mir schon so oft durchgelesen wie man eine Jordanbasis bestimmt, doch trotzdem habe ich viele Fragen. Also wie genau die Matrix A aussieht halte ich hier erstmal für unwichtig. Wie man die erhöhten ER bestimmt weiß ich und die Matrix C besteht doch aus der Jordan-Basis oder? Da stoßen wir nun auf mein Problem. In der Übung haben wir die Basis ganz einfach bestimmt, indem wir halt die erhöhten ER bestimmt haben und zum Eigenwert 2 war dann dim [mm] Kern(A-1E)^3=dim Kern(A-1E)^4. [/mm] Also haben wir dann die Basis von [mm] Kern(A-1E)^3 [/mm] genommen und genauso die Basis von [mm] Kern(A-3E)^2. [/mm] Das war dann die Jordan-Basis und auch die Matrix C. In [mm] Kern(A-1E)^2 [/mm] haben wir einen Vektor von Kern(A-1E) bekommen und noch einen neuen usw.
Dann und hier liegt jetzt mein Problem haben wir uns noch ein anderes Bsp mit einer nilpotenten Matrix angeguckt und dort auch die erhöhten ER bestimmt, doch nicht als Basis genommen. Wir haben uns einen Vektor von [mm] Kern(N^2) [/mm] ohne Kern(N) genommen. Das war dann der erste Basisvektor nennen wir ihn mal x. Dann für den zweiten Vektor haben wir irgendwie N*x genommen usw.
Meine Frage ist jetzt, ist es egal welchen von den beiden Möglichkeiten ich anwende? Warum wurde bei dem ersten Beispiel die Basis anders bestimmt als beim zweiten Bsp? Hat es damit zu tun, dass beim zweiten Bsp die Matrix nur einen EW hat??
Bitte helft mir, es ist wirklich unglaublich wichtig dass ich das verstehe, das wird ganz sicher in der Klausur drankommen.
|
|
| |
|
> A [mm]\in R^5^x^5[/mm] hat die Eigenwerte 1 und 3. Bestimmen Sie die
> erhähten Eigenräume und eine Matrix C, sodass [mm]C^{-1}AC=J[/mm]
> J ist die Jordanmatrix.
> Hallo, die Frage ich wirklich sehr sehr wichtig, ich habe
> mir schon so oft durchgelesen wie man eine Jordanbasis
> bestimmt, doch trotzdem habe ich viele Fragen. Also wie
> genau die Matrix A aussieht halte ich hier erstmal für
> unwichtig. Wie man die erhöhten ER bestimmt weiß ich und
> die Matrix C besteht doch aus der Jordan-Basis oder? Da
> stoßen wir nun auf mein Problem. In der Übung haben wir
> die Basis ganz einfach bestimmt, indem wir halt die
> erhöhten ER bestimmt haben und zum Eigenwert 2 war dann
> dim [mm]Kern(A-1E)^3=dim Kern(A-1E)^4.[/mm] Also haben wir dann
Eigenwert 2 und [mm] $Ker(A-\red{1}\cdot 1_n)$ [/mm] ???
Bei nilpotenten Matrizen ist es einfacher, da die Eigenwerte nur 0 sind.
Hallo ich versuch es dir ein Schema zu geben, das immer funktioniert. Die folgende Schritte machst du einfach für jeden Eigenwert.
Also den ersten Schritt über die Potenzen hast du schon gemacht, denn es gilt ja:
[mm] $Ker(f)\subset Ker(f^2)\subset Ker(f^3)\subset\ldots Ker(f^k)=Ker(f^{k+1})$. [/mm] Und es gilt [mm] $J:=A-\lambda \cdot 1_n$ [/mm] eine nilpotente Matrix.
Du betrachtest die Kerne bis k. Denn [mm] $J^{k+1}=0$
[/mm]
Du kannst dann dir eine Übersicht aufbauen.
Den Kern bestimmen wir, indem wir die Matrix auf reduzierte Zstf. bringen und Gedanklich eine -1 ergänzen.
[mm]\left( \begin {array}{ccc} 27&99&92\\ \noalign{\medskip}8&29&-31
\\ \noalign{\medskip}8&29&-31\end {array} \right) \to
\left( \begin {array}{ccc} 1&0&-{\frac {5737}{9}}
\\ \noalign{\medskip}0&1&{\frac {1573}{9}}\\ \noalign{\medskip}0&0&0
\end {array} \right)
[/mm]
[m]\left( \begin {array}{ccc} 1&0&-{\frac {5737}{9}}
\\ \noalign{\medskip}0&1&{\frac {1573}{9}}\\ \noalign{\medskip}0&0&\red{-1}
\end {array} \right)=:B [/m]
Der Kern ist jetzt die Spalte mit der Minus eins. Wir nennen diese Spalte den Vektor [mm] $b_1$
[/mm]
Jetzt potenzieren wir die Matrix noch einmal machen gleichen Schritt noch einmal.(Kern bestimmen). Diesmal ignorieren wir allerdings die Spalten, die vorher schon ohne freie führende Eins waren. In unserem Beispiel würden wir die letzt Spalte der Matrix B ignorieren. Dann würden wir allgemein neuen Vektoren erhalten.
Ich spring jetzt zum allgemeinen Fall. Angenommen wir haben die Matrix H zur Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] und wir haben wie oben
[mm] $b_1,b_2,b_3 \in [/mm] Ker(H)$
[mm] $b_4,b_5,b_6\in Ker(H^2)$
[/mm]
[mm] $b_7\in Ker(H^3)$
[/mm]
ermittelt.
Natürlich sind in den höheren Potenzen mehrere Vektoren die den Kern aufspannen. Wir ignorieren aber diese.
Übersichtlich siehst es so aus:
[mm] $b_7\in Ker(H^3)$
[/mm]
[mm] $b_4,b_5,b_6 \in [/mm] Ker(H)$
[mm] $b_1,b_2,b_3 \in [/mm] Ker(H)$
Wir wissen aus Dimensionsgründen muss es sieben Vektoren geben, die unsere Raum auspannen.
Jetzt nehmen wir und den Vektor [mm] $b_7$ [/mm] vor und wenden darauf die Abbildung an.
[mm] $b_7\in Ker(H^3)$
[/mm]
[mm] $\phi(b_7),\star,\star \in [/mm] Ker(H)$
[mm] $\phi^2(b_7),\star,\star \in [/mm] Ker(H)$
Jetzt haben wir die Dimension von [mm] $Ker(H^3)$ [/mm] ausgeschöpft. Nehmen wir jetzt [mm] $Ker(H^2)$ [/mm] vor und wählen den nächsten Vektor, der linear unabh. zu [mm] $b_7,\phi (b_7),\phi^2 (b_7)$ [/mm] ist.
[mm] $b_7\in Ker(H^3)$
[/mm]
[mm] $\phi(b_7),b_5,\star \in [/mm] Ker(H)$
[mm] $\phi^2(b_7),\phi(b_5),\star \in [/mm] Ker(H)$
Wichtig wäre noch zu erwähnen, dass auch folgendes Schema vorkommen kann.
[mm] $b_7\in Ker(H^3)$
[/mm]
[mm] $\phi(b_7),b_6,\star \in [/mm] Ker(H)$
[mm] $\phi^2(b_7),\phi(b_6),\star \in [/mm] Ker(H)$
Jetzt sind wieder alle Vektoren für den [mm] $Ker(H^2)$ [/mm] aufgebraucht. Nehmen wir den letzten Vektor
[mm] $b_7\in Ker(H^3)$
[/mm]
[mm] $\phi(b_7),b_5,b_6 \in [/mm] Ker(H)$
[mm] $\phi^2(b_7),\phi(b_5),\phi(b_6) \in [/mm] Ker(H)$
Damit haben unsere Basis gefunden:
[mm] $b_7,\phi(b_7),\phi^2(b_7),b_5,\phi(b_5),b_6,\phi(b_6)$
[/mm]
Direkt zu deiner Frage, da wir schon die Spalten ignorieren bei denen in der vorherigen Potenz schon eine Spalte ohne führende Eins war
haben
wir einen Vektor genommen, der in [mm] $Ker(H^2)\setminus [/mm] Ker(H)$ liegt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 23.06.2010 | | Autor: | alina00 |
Hallo,dankeschön für die Antwort. Das war ein Tippfehler, ich meinte natürlich zum EW=1 und nicht 2. Den Algorithmus habe ich jetzt verstanden, doch es bleibt noch die Frage, warum wir in der Übung bei einem Beispiel als Jordan-Basis einfach die Basis von [mm] Kern(A-E)^3 [/mm] und [mm] Kern(A-3E)^2 [/mm] genommen und beide zusammen ergaben dann die Jordanbasis. So wie du es mir erklärt hast ( was wir in der Übung auch in einem anderen Bsp angewandt haben) muss man ja die Matrix auf einen Vektor der Basis vom [mm] kern(A-E)^2/kern(A-E) [/mm] anwenden usw... und ich verstehe halt nicht, wann es ich wie machen muss. Das sind ja hier zwei möglichkeiten zur Bestimmung einer Jordan Basis und die erste ist natürlich leichter ( einfach die Basis vom erhöhten ER nehmen)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Mi 23.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
Ich versteh leider nicht, was du unter erhöhten Eigenwerte verstehst. Wenn du außerdem die Übungsaufgabe (speziell die Matrix) postest, dann kann man das direkt erklären.
|
|
|
|
