Jordan-Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich versuche gerade, die Jordan-Normalform zu verstehen. Im Fischer steht das irgendwie erklärt mit Haupträumen und "ganz komischen Sachen" (gefällt mir jedenfalls nicht so ganz). Kann man die Jordan-Normalform nicht auch über das Minimalpolynom bestimmen? Ich habe dazu in einem anderen Post hier auch folgende Aussage gefunden:
"Zerfällt das Minimalpoynom nicht in Linearfaktoren, so existiert auch keine JNF."
Also, was ich bisher weiß und kann, ist folgendes:
Ich kann das charakteristische Polynom berechnen, daraus die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen, auch die Eigenräume und das Minimalpolynom kann ich (hoffe ich jedenfalls).
Ich weiß auch, wann die Matrix diagonalisierbar ist, und wann ich sie nur auf Jordan-Normalform bringen kann. Ebenfalls weiß ich, dass die Eigenwerte auf der Diagonalen der Jordan-Normalform stehen (und zwar z. B. dreimal, wenn sie eine dreifache Nullstelle des charakteristischen Polynoms sind).
Was ich aber im Moment nicht weiß (ich wusste das glaube ich vor ein paar Jahren sogar mal), wie viele Einsen über der Diagonale stehen. Könnte mir da jemand möglichst einfach erklären, wie ich das herausfinde? Also es stehen ja auch bei einem dreifachen Eigenwert höchstens zwei Einsen drüber, aber es kann ja auch sein, dass da nur eine oder sogar gar keine steht. Ich denke, man versteht, was ich meine?
Ich habe gerade kein Beispiel, aber falls jemand eins hat, kann er es mir gerne daran erklären.
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Zunächst das Einfachste: Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist ja gleich der Anzahl der Jordanblöcke zu diesem Eigenwert.
Für einfache Beispiele kannst du die Jordansche Normalform in der Tat aus dem Minimalpolynom ablesen:
Ist
[mm] $MP_A(t) [/mm] = [mm] (t-\lambda_1)^{c_1} \cdot [/mm] (t - [mm] \lambda_2)^{c_2} \cdot \ldots \cdot (t-\lambda_k)^{c_k}$ [/mm]
das Minimalpolynom von $A$, dann ist der größte Block zum Eigenwert [mm] $\lambda_i$ [/mm] von der Größe [mm] $c_i$ ($i=1,2,\ldots,k$).
[/mm]
Für kompliziertere Beispiele muss du dir alle Haupträume (verallgemeinerten Eigenräume) anschauen und diese Formeln (siehe mein Post) anwenden.
Siehe aber auch vorher die ausgezeichneten Erklärungen von Nam für ein einfacheres Beispiel.
Liebe Grüße
Stefan
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Kochen mit Jordan![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
Und ich kannte ihn gar nicht... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
Auf den sollten wir jetzt immer verweisen, wenn Fragen zur Jordanschen Normalform kommen.
