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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Fr 08.07.2011 | | Autor: | sqflo |
hallo!
von folgender reelle matrix habe die jordan-normalform berechnet:
[mm] $A=\pmat{ 0&-1&1&0 \\ 0&-2&2&-1 \\0&-2&2&-1 \\ 0&0&0&0 }$
[/mm]
dazu bin ich wie folgt vorgegangen:
(i) A besitzt als einzigen eigenwert 0 und [mm] $A^2=0$
[/mm]
(ii) der hauptraum hau(A,0) (also der kern von A selbst) wird von den vektoren [mm] $v_1:=(0,1,1,0)$ [/mm] und [mm] $v_3:=(1,1,1,0)$ [/mm] aufgespannt.
(iii) mit vektoren aus [mm] $\mathbb{R}^4=kern(A^2) \setminus [/mm] kern(A)$ habe ich [mm] $v_2,v_3$ [/mm] zu einer basis ergänzt. setze [mm] $v_2=(0,0,0,1)$ [/mm] und [mm] $v_4=(0,0,1,0)$.
[/mm]
(iv) setze ferner $S:=(v1|v2|v3|v4)$ die matrix mit den spaltenvektoren der basis.
Dann ist insgesamt: [mm] $S^{-1}AS= $\pmat{ 0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0} =diag(J_2,J_2)$
[/mm]
ist das so richtig?
flo
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> hallo!
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> von folgender reelle matrix habe die jordan-normalform
> berechnet:
>
> [mm]A=\pmat{ 0&-1&1&0 \\
0&-2&2&-1 \\
0&-2&2&-1 \\
0&0&0&0 }[/mm]
>
> dazu bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> (i) A besitzt als einzigen eigenwert 0 und [mm]A^2=0[/mm]
> (ii) der hauptraum hau(A,0) (also der kern von A selbst)
> wird von den vektoren [mm]v_1:=(0,1,1,0)[/mm] und [mm]v_3:=(1,1,1,0)[/mm]
> aufgespannt.
>
> (iii) mit vektoren aus [mm]\mathbb{R}^4=kern(A^2) \setminus kern(A)[/mm]
> habe ich [mm]v_2,v_3[/mm] zu einer basis ergänzt. setze
> [mm]v_2=(0,0,0,1)[/mm] und [mm]v_4=(0,0,1,0)[/mm].
>
> (iv) setze ferner [mm]S:=(v1|v2|v3|v4)[/mm] die matrix mit den
> spaltenvektoren der basis.
>
> Dann ist insgesamt: [mm]S^{-1}AS= [/mm][mm] \pmat{ 0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0} =diag(J_2,J_2)$[/mm]
[/mm]
>
> ist das so richtig?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine JNF ist richtig, ebenso die Basis des Hauptraumes.
Deine Matrix S stimmt nicht:
Du siehst das schnell ein, wenn Du Dir klarmachst, daß der 1. und 3. Basisvektor der Jordanbasis ein Eigenvektor sein muß.
Vorgehensweise: ergänze die beiden Eigenvektoren [mm] v_1, v_2 [/mm] durch [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^4.
[/mm]
Dann ist [mm] (Av_3, v_3, Av_4, v_4) [/mm] eine Jordanbasis.
Oder:
nimm [mm] w_1:=v_1 [/mm] , [mm] w_3:=v_2 [/mm] und überlege Dir, daß für [mm] w_2 [/mm] und [mm] w_4 [/mm] gelten muß
[mm] Aw_2=w_1 [/mm] und [mm] Aw_4=w_3.
[/mm]
[mm] (w_1, w_2, w_3, w_4) [/mm] sind dann eine Jordanbasis.
Gruß v. Angela
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