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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 Mi 07.07.2010 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Jordan-Normalform und zugehörige Basis:
[mm] $A=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 4 & 3\\
-1 & 0 & -1\\
1 & 2 & 3\end{array}\right)$ [/mm] |
Moin Moin,
ich bin gerade dabei obige Aufgabe zu lösen und komme nicht weiter.
[mm] $P_A=-(t-2)^3$
[/mm]
[mm] $B:=A-2E_{3}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 3\\
-1 & -2 & -1\\
1 & 2 & 2\end{array}\right)$
[/mm]
[mm] $B^{2}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 2\\
0 & -2 & -2\\
0 & 2 & 2\end{array}\right)$
[/mm]
und [mm] $B^3=0$
[/mm]
damit ist [mm] $Kern(B)=<\left(\begin{array}{c}
1\\
-1\\
1\end{array}\right)>$ [/mm] und [mm] Kern(B^2)=<\left(\begin{array}{c}
1\\
-1\\
1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0\end{array}\right)>
[/mm]
also ist [mm] $v_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0\end{array}\right)$ [/mm] hinzugekommen.
dann berechne ich:
[mm] $v_2=B\cdot v_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
-1\\
1\end{array}\right)$
[/mm]
und
[mm] $v_3=B^2\cdot v_{1}=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0\end{array}\right)$
[/mm]
jetzt habe ich ein Problem...
eigentlich sollte ja [mm] $(v_3,v_2,v_1)$ [/mm] die Jordanbasis sein, aber dass [mm] $v_3=0$ [/mm] ist kommt mir irgendwie spanisch vor. Habe ich einen Fehler gemacht?
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Hallo,
> Bestimmen Sie Jordan-Normalform und zugehörige Basis:
> [mm]$A=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 4 & 3\\
-1 & 0 & -1\\
1 & 2 & 3\end{array}\right)$[/mm]
>
> Moin Moin,
>
> ich bin gerade dabei obige Aufgabe zu lösen und komme
> nicht weiter.
> [mm]P_A=-(t-2)^3[/mm]
> [mm]$B:=A-2E_{3}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 3\\
-1 & -2 & -1\\
1 & 2 & 2\end{array}\right)$[/mm]
>
Hier sollte wohl: [mm] A-2E_{3}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 3\\
-1 & -2 & -1\\
1 & 2 & 1\end{array}\right)
[/mm]
stehen.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Mi 07.07.2010 | | Autor: | notinX |
> Hier sollte wohl: [mm]A-2E_{3}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 3\\
-1 & -2 & -1\\
1 & 2 & 1\end{array}\right)[/mm]
Ja tuts auch, das war nur ein Tippfehler.
>
> stehen.
>
> Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Mi 07.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
Zur eigentlichen Frage 
Dein Fehler ist, dass du mit einem Vektor aus [mm] $\ker B^2 \setminus \ker [/mm] B$ angefangen hast (solche werden ja 0, wenn du sie genau zweimal mit $B$ abbildest), und nicht mit einem aus [mm] $\ker B^3 \setminus \ker B^2$. [/mm] Also nimm dir etwas aus [mm] $\ker B^3 [/mm] = [mm] \IR^3$, [/mm] was nicht in [mm] $\ker B^2$ [/mm] liegt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Mi 07.07.2010 | | Autor: | notinX |
> Moin!
>
> Zur eigentlichen Frage
>
> Dein Fehler ist, dass du mit einem Vektor aus [mm]\ker B^2 \setminus \ker B[/mm]
> angefangen hast (solche werden ja 0, wenn du sie genau
> zweimal mit [mm]B[/mm] abbildest), und nicht mit einem aus [mm]\ker B^3 \setminus \ker B^2[/mm].
> Also nimm dir etwas aus [mm]\ker B^3 = \IR^3[/mm], was nicht in [mm]\ker B^2[/mm]
> liegt.
>
> LG Felix
>
Danke für den Hinweis.
mit [mm] $w_1:=v_{1}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
[/mm]
[mm] $w_2:=B\cdot v_{1}=\left(\begin{array}{c} 4\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ [/mm]
und
[mm] $w_3:=B^2\cdot v_{1}=\left(\begin{array}{c} 2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$
[/mm]
klappts dann auch und
[mm] $T^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 4 & 0\\
-2 & -2 & 1\\
2 & 2 & 0\end{array}\right)$ [/mm] ist die Trafomatrix zur Jordanform
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