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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Di 09.10.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | | Sei [mm] a\in\IR [/mm] eine reelle Zahl. Bestimmen Sie alle möglichen Jordannormalformen, die ein Edomorphismus eines reellen VR haben kann, wenn [mm] T^4(T-a)^2 [/mm] sein charakteristisches Polynom und [mm] T^2(T-a)^2 [/mm] sein Minimalpolynom ist. |
Aus den Polynomen kann ich ablesen, dass die Eigenwerte 0 und a existieren.
0 mit Vielfachheit 4 und a mit Vielfachheit 2. [mm] (\Rightarrow [/mm] zu 0 gehört ein 4er Block und zu a ein 2er)
Aus dem Minimalpolynom kann ich erkennen, dass die größten Kästchen zu beiden EW 2x2 sind (Exponenten) also a aus einem einzigen besteht und für 0 die möglichkeiten 2 2er oder 1 2er und 2 1er übrig sind.
Also sind mögliche Formen:
[mm] \pmat{a & 1 & & & & 0 \\ 0 & a & & & & \\ & & 0 & 1 & & \\ & & 0 & 0 & & \\ & & & & 0 & 1 \\ 0& & & & 0 & 0 } [/mm] oder [mm] \pmat{a & 1 & & & & 0 \\ 0 & a & & & & \\ & & 0 & 1 & & \\ & & 0 & 0 & & \\ & & & & 0 & \\ 0& & & & & 0 }
[/mm]
Passt das?
Gruß und Danke
Zerwas
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> Sei [mm]a\in\IR[/mm] eine reelle Zahl. Bestimmen Sie alle möglichen
> Jordannormalformen, die ein Edomorphismus eines reellen VR
> haben kann, wenn [mm]T^4(T-a)^2[/mm] sein charakteristisches Polynom
> und [mm]T^2(T-a)^2[/mm] sein Minimalpolynom ist.
> Aus den Polynomen kann ich ablesen, dass die Eigenwerte 0
> und a existieren.
> 0 mit Vielfachheit 4 und a mit Vielfachheit 2.
> [mm](\Rightarrow[/mm] zu 0 gehört ein 4er Block und zu a ein 2er)
> Aus dem Minimalpolynom kann ich erkennen, dass die größten
> Kästchen zu beiden EW 2x2 sind (Exponenten) also a aus
> einem einzigen besteht und für 0 die möglichkeiten 2 2er
> oder 1 2er und 2 1er übrig sind.
> Also sind mögliche Formen:
> [mm]\pmat{a & 1 & & & & 0 \\ 0 & a & & & & \\ & & 0 & 1 & & \\ & & 0 & 0 & & \\ & & & & 0 & 1 \\ 0& & & & 0 & 0 }[/mm]
> oder [mm]\pmat{a & 1 & & & & 0 \\ 0 & a & & & & \\ & & 0 & 1 & & \\ & & 0 & 0 & & \\ & & & & 0 & \\ 0& & & & & 0 }[/mm]
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> Passt das?
Hallo,
ja, es paßt.
(Üblicherweise ordnet man die Blöcke so an, daß die größten oben stehen.)
Gruß v. Angela
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