Jordan-Normal-Form < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich hab hier zwei Beispiele, und wenn ich das richtig verstehe, dann hab ich in beiden Beispielen jeweils zwei bzw. drei Matrizen als mögliche Jordan-Normal-Form (JNF) und nun soll geprüft werden, welche Matrix die JNF ist.
Da wir vorher das Minimalpolynom besprochen habe, denke ich, dass ich es damit machen soll.
Die Anzahl der einzelnen Nullstellen im Minimalpolynom gibt mir ja dann die maximale Länge der Jordan-Blöcke für die einzelnen Eigenwerte an.
[Was genau heißt hier eigentlich maximal? Wenn ich z.B. für den ersten Eigenwert Vielfachheit 3 bekomme, ist dann der Block für den ersten Eigenwert auch 3 lang, oder kann er auch kürzer sein?]
Hier mal meine Beispiele:
Im Komplexen
[mm] \pmat{ 25 & 34 & 18 \\ -14 & -19 & -10 \\ -4 & -6 & -1 }
[/mm]
Das charakteristische Polynom lautet: [mm] -(X-1)^2(X-3)
[/mm]
Mögliche JNF sind dann:
a) [mm] \pmat{ 1 & & \\ 1 & 1 & \\ & & 3 } [/mm] 2 Jordan-Blöcke
b) [mm] \pmat{1 & & \\ & 1 & \\ & & 3 } [/mm] 3 Jordan-Blöcke
Bis hierhin kann ich es denke ich nachvollziehen.
Aber dann wird folgendes gesagt:
Berechne [mm] (M_f-I)(M_f-3I)\not=0 [/mm] , dazu reicht es, einen Eintrag des Produktes zu finden, der [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Daraus folgt, dass die JNF [mm] \pmat{ 1 & &0 \\ 1 & 1 & \\ & & 3 } [/mm] ist.
Das versteh ich nicht. Ich dachte ich muss es mit dem Minimalpolynom prüfen. Was wird hier gemacht ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Im Reellen
[mm] \pmat{ 3 & 4 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 }
[/mm]
Das charakteristische Polynom lautet: [mm] -(X-2)^3
[/mm]
Mögliche JNF sind dann:
[mm] J_1=\pmat{ 2 & &0 \\ 1 & 2 & \\ & 1 & 2 } [/mm] 1 Jordan-Block
[mm] J_2=\pmat{2 & & \\ 1 & 2 & \\ & & 2 } [/mm] 2 Jordan-Blöcke
[mm] J_3=\pmat{2 & & \\ & 2 & \\ & & 2 } [/mm] 3 Jordan-Blöcke
Auch das kann ich denke ich bis hierhin nachvollziehen.
Aber dann wird folgendes gesagt:
[mm] (M_f-2*I)=\pmat{1 &4 &3 \\ -1 & -2 & -1\\ 1&2 & 1 } [/mm] , $rang=2$
[mm] rang(J_1-2*I)=2 [/mm] , [mm] rang(J_2-2*I)=1 [/mm] , [mm] rang(J_3-2*I)=0
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] J_1 [/mm] die JNF ist.
Auch das verstehe ich gar nicht.
Wie komme ich darauf und wofür wird da die ganze Zeit ein Rang berechnet
Vielen Dank für eure Hilfe.
LG, Nadine
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> Die Anzahl der einzelnen Nullstellen im Minimalpolynom gibt
> mir ja dann die maximale Länge der Jordan-Blöcke für die
> einzelnen Eigenwerte an.
Hallo,
google mal nach dem JNF-Kochrezept von Daniel Winkler.
Es ist sehr schön - und ich verwende im folgenden die dortigen Ausdrücke "Jordanblock" und "Jordankästchen".
Jordanblock ist all das, was zum selben Eigenwert gehört, und die Kästchen sind die Kästchen innerhalb des Blockes.
Die Vielfachheit der Nullstellen im Minimalpolynom liefert die Länge des größten Kästchens zum entsprechenden Eigenwert.
>
> [Was genau heißt hier eigentlich maximal? Wenn ich z.B.
> für den ersten Eigenwert Vielfachheit 3 bekomme, ist dann
> der Block für den ersten Eigenwert auch 3 lang, oder kann
> er auch kürzer sein?]
>
> Hier mal meine Beispiele:
>
>
> Im Komplexen
>
> [mm]\pmat{ 25 & 34 & 18 \\ -14 & -19 & -10 \\ -4 & -6 & -1 }[/mm]
>
> Das charakteristische Polynom lautet: [mm]-(X-1)^2(X-3)[/mm]
>
> Mögliche JNF sind dann:
>
> a) [mm]\pmat{ 1 & & \\ 1 & 1 & \\ & & 3 }[/mm] 2 Jordan-Blöcke
>
> b) [mm]\pmat{1 & & \\ & 1 & \\ & & 3 }[/mm] 3 Jordan-Blöcke
>
> Bis hierhin kann ich es denke ich nachvollziehen.
>
> Aber dann wird folgendes gesagt:
>
> Berechne [mm](M_f-I)(M_f-3I)\not=0[/mm] , dazu reicht es, einen
> Eintrag des Produktes zu finden, der [mm]\not=[/mm] 0 ist.
>
> Daraus folgt, dass die JNF [mm]\pmat{ 1 & &0 \\ 1 & 1 & \\ & & 3 }[/mm]
> ist.
>
> Das versteh ich nicht. Ich dachte ich muss es mit dem
> Minimalpolynom prüfen. Was wird hier gemacht
Welche Polynome kommen hier als Minimalpolynom infrage?
Wie prüfst Du, ob ein Kandidat das Minimalpolynom ist?
>
>
> Im Reellen
>
> [mm]\pmat{ 3 & 4 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 }[/mm]
>
> Das charakteristische Polynom lautet: [mm]-(X-2)^3[/mm]
>
> Mögliche JNF sind dann:
>
> [mm]J_1=\pmat{ 2 & &0 \\ 1 & 2 & \\ & 1 & 2 }[/mm] 1 Jordan-Block
>
> [mm]J_2=\pmat{2 & & \\ 1 & 2 & \\ & & 2 }[/mm] 2 Jordan-Blöcke
>
> [mm]J_3=\pmat{2 & & \\ & 2 & \\ & & 2 }[/mm] 3 Jordan-Blöcke
(In meiner Sprache gibt es hier immer nur einen Jordanblock mit 1 bzw. 2 bzw. 3 Jordankästchen)
>
> Auch das kann ich denke ich bis hierhin nachvollziehen.
>
> Aber dann wird folgendes gesagt:
>
> [mm](M_f-2*I)=\pmat{1 &4 &3 \\ -1 & -2 & -1\\ 1&2 & 1 }[/mm] ,
> [mm]rang=2[/mm]
>
> [mm]rang(J_1-2*I)=2[/mm] , [mm]rang(J_2-2*I)=1[/mm] , [mm]rang(J_3-2*I)=0[/mm]
>
> Daraus folgt, dass [mm]J_1[/mm] die JNF ist.
>
> Auch das verstehe ich gar nicht.
>
> Wie komme ich darauf und wofür wird da die ganze Zeit ein
> Rang berechnet
Man will hier rausfinden, welche JNF die richtige ist.
Es gibt eine Transformationsmatrix T mit [mm] T^{-1}M_fT=J
[/mm]
J-2E= [mm] T^{-1}M_fT-2T^{-1}ET=T^{-1}(M_f-2E)T,
[/mm]
also müssen J-2E und [mm] M_f-2E [/mm] denselben Rang haben, also kann man alle Matrizen, bei denen das nicht der Fall ist, als JNF von [mm] M_f [/mm] knicken.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> LG, Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 12.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> google mal nach dem JNF-Kochrezept von Daniel Winkler.
> Es ist sehr schön
Danke für den Tipp 
> > Hier mal meine Beispiele:
> >
> >
> > Im Komplexen
> >
> > [mm]\pmat{ 25 & 34 & 18 \\ -14 & -19 & -10 \\ -4 & -6 & -1 }[/mm]
>
> >
> > Das charakteristische Polynom lautet: [mm]-(X-1)^2(X-3)[/mm]
> >
> > Mögliche JNF sind dann:
> >
> > a) [mm]\pmat{ 1 & & \\ 1 & 1 & \\ & & 3 }[/mm] 2 Jordan-Blöcke
> >
> > b) [mm]\pmat{1 & & \\ & 1 & \\ & & 3 }[/mm] 3 Jordan-Blöcke
> >
> > Bis hierhin kann ich es denke ich nachvollziehen.
> >
> > Aber dann wird folgendes gesagt:
> >
> > Berechne [mm](M_f-I)(M_f-3I)\not=0[/mm] , dazu reicht es, einen
> > Eintrag des Produktes zu finden, der [mm]\not=[/mm] 0 ist.
> >
> > Daraus folgt, dass die JNF [mm]\pmat{ 1 & &0 \\ 1 & 1 & \\ & & 3 }[/mm]
> > ist.
> >
> > Das versteh ich nicht. Ich dachte ich muss es mit dem
> > Minimalpolynom prüfen. Was wird hier gemacht
> Welche Polynome kommen hier als Minimalpolynom infrage?
> Wie prüfst Du, ob ein Kandidat das Minimalpolynom ist?
Es kommen alle Polynome in Frage, die beide Linearfaktoren (X-1) und (X-3) drin haben, weil die Nullstellen vom charakteristischem Polynom und Minimalpolynom ja gleich sind.
Also wären als Minimalpolynom möglich:
(a) [mm] (X-1)^2*(X-3)
[/mm]
(b) $(X-1)*(X-3)$
(c) [mm] -(X-1)^2*(X-3)
[/mm]
(d) $-(X-1)*(X-3)$
Sowohl bei (a) als auch bei (c) erhalte ich bei Einsetzen meiner gegebenen Matrix in diese Polynome die Nullmatrix.
Welches der beiden ist nun das Minimalpolynom?
Und was bedeutet der Hinweis
"Berechne [mm](M_f-I)(M_f-3I)\not=0[/mm] , dazu reicht es, einen Eintrag des Produktes zu finden, der [mm]\not=[/mm] 0 ist"?
Wie ist das eigentlich, wenn wie hier bei (c) und (d) ein Minuszeichen vor den Linearfaktoren steht?
Bedeutet das, dass das Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt?
Und woher weiß ich, wann überhaupt ein Minuszeichen noch davor muss?
Ich habe mal gelernt, dass ich zur Bestimmung der Darstellung in Linearfaktoren nur die Nullstellen des Polynoms samt Vielfachheiten bestimmen muss und dann einfach ein Produkt aus den Faktoren $X-Nullstelle$ bilde.
LG Nadine
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> Hallo Angela!
>
>
>
> > google mal nach dem JNF-Kochrezept von Daniel Winkler.
> > Es ist sehr schön
>
> Danke für den Tipp
>
>
>
> > > Hier mal meine Beispiele:
> > >
> > >
> > > Im Komplexen
> > >
> > > [mm]\pmat{ 25 & 34 & 18 \\ -14 & -19 & -10 \\ -4 & -6 & -1 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das charakteristische Polynom lautet: [mm]-(X-1)^2(X-3)[/mm]
> > >
> > > Mögliche JNF sind dann:
> > >
> > > a) [mm]\pmat{ 1 & & \\ 1 & 1 & \\ & & 3 }[/mm] 2 Jordan-Blöcke
> > >
> > > b) [mm]\pmat{1 & & \\ & 1 & \\ & & 3 }[/mm] 3 Jordan-Blöcke
> > >
> > > Bis hierhin kann ich es denke ich nachvollziehen.
> > >
> > > Aber dann wird folgendes gesagt:
> > >
> > > Berechne [mm](M_f-I)(M_f-3I)\not=0[/mm] , dazu reicht es, einen
> > > Eintrag des Produktes zu finden, der [mm]\not=[/mm] 0 ist.
> > >
> > > Daraus folgt, dass die JNF [mm]\pmat{ 1 & &0 \\ 1 & 1 & \\ & & 3 }[/mm]
> > > ist.
> > >
> > > Das versteh ich nicht. Ich dachte ich muss es mit dem
> > > Minimalpolynom prüfen. Was wird hier gemacht
>
>
>
> > Welche Polynome kommen hier als Minimalpolynom infrage?
> > Wie prüfst Du, ob ein Kandidat das Minimalpolynom ist?
>
> Es kommen alle Polynome in Frage, die beide Linearfaktoren
> (X-1) und (X-3) drin haben, weil die Nullstellen vom
> charakteristischem Polynom und Minimalpolynom ja gleich
> sind.
>
> Also wären als Minimalpolynom möglich:
> (a) [mm](X-1)^2*(X-3)[/mm]
> (b) [mm](X-1)*(X-3)[/mm]
> (c) [mm]-(X-1)^2*(X-3)[/mm]
> (d) [mm]-(X-1)*(X-3)[/mm]
>
Hallo,
das Minimalpolynom ist ja das normierte Polynom kleinsten Grades, das 0 ergibt, wenn man die Matrix einsetzt, also bleiben nur a) und b)
> Sowohl bei (a) als auch bei (c) erhalte ich bei Einsetzen
> meiner gegebenen Matrix in diese Polynome die Nullmatrix.
> Welches der beiden ist nun das Minimalpolynom?
>
> Und was bedeutet der Hinweis
> "Berechne [mm](M_f-I)(M_f-3I)\not=0[/mm] , dazu reicht es, einen
> Eintrag des Produktes zu finden, der [mm]\not=[/mm] 0 ist"?
Daß Du aufhören kannst, wenn ein Eintrag Deiner Produktmatrix [mm] \not=0 [/mm] ist, weil dann ja nicht mehr die Nullmatrix rauskommen kann.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Di 12.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> > Im Reellen
> >
> > [mm]\pmat{ 3 & 4 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 }[/mm]
> >
> > Das charakteristische Polynom lautet: [mm]-(X-2)^3[/mm]
> >
> > Mögliche JNF sind dann:
> >
> > [mm]J_1=\pmat{ 2 & &0 \\ 1 & 2 & \\ & 1 & 2 }[/mm] 1 Jordan-Block
> >
> > [mm]J_2=\pmat{2 & & \\ 1 & 2 & \\ & & 2 }[/mm] 2 Jordan-Blöcke
> >
> > [mm]J_3=\pmat{2 & & \\ & 2 & \\ & & 2 }[/mm] 3 Jordan-Blöcke
>
> (In meiner Sprache gibt es hier immer nur einen Jordanblock
> mit 1 bzw. 2 bzw. 3 Jordankästchen)
>
> >
> > Auch das kann ich denke ich bis hierhin nachvollziehen.
> >
> > Aber dann wird folgendes gesagt:
> >
> > [mm](M_f-2*I)=\pmat{1 &4 &3 \\ -1 & -2 & -1\\ 1&2 & 1 }[/mm] ,
> > [mm]rang=2[/mm]
> >
> > [mm]rang(J_1-2*I)=2[/mm] , [mm]rang(J_2-2*I)=1[/mm] , [mm]rang(J_3-2*I)=0[/mm]
> >
> > Daraus folgt, dass [mm]J_1[/mm] die JNF ist.
> >
> > Auch das verstehe ich gar nicht.
> >
> > Wie komme ich darauf und wofür wird da die ganze Zeit ein
> > Rang berechnet
> Man will hier rausfinden, welche JNF die richtige ist.
Ok.
> Es gibt eine Transformationsmatrix T mit [mm]T^{-1}M_fT=J[/mm]
Ok, das wusste ich nicht.
Ist J dabei die Matrix der JNF?
> J-2E= [mm]T^{-1}M_fT-2T^{-1}ET=T^{-1}(M_f-2E)T,[/mm]
>
> also müssen J-2E und [mm]M_f-2E[/mm] denselben Rang haben
Warum müssen sie denselben Rang haben?
Woher nimmst du das J-2E?
Und das [mm] M_f-2E [/mm] ?
Und warum?
Müssen alle möglichen Matrizen für die JNF und die darstellende Matrix selbst ins charakteristische Polynom eingesetzt werden?
Aber wo bleibt dann das "hoch3"?
Irgendwie verstehe ich immer noch nicht, was hier gemacht wird...
> also
> kann man alle Matrizen, bei denen das nicht der Fall ist,
> als JNF von [mm]M_f[/mm] knicken.
LG, Nadine
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> Hallo Angela!
>
>
>
> > > Im Reellen
> > >
> > > [mm]\pmat{ 3 & 4 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 }[/mm]
> > >
> > > Das charakteristische Polynom lautet: [mm]-(X-2)^3[/mm]
> > >
> > > Mögliche JNF sind dann:
> > >
> > > [mm]J_1=\pmat{ 2 & &0 \\ 1 & 2 & \\ & 1 & 2 }[/mm] 1 Jordan-Block
> > >
> > > [mm]J_2=\pmat{2 & & \\ 1 & 2 & \\ & & 2 }[/mm] 2 Jordan-Blöcke
> > >
> > > [mm]J_3=\pmat{2 & & \\ & 2 & \\ & & 2 }[/mm] 3 Jordan-Blöcke
> >
> > (In meiner Sprache gibt es hier immer nur einen Jordanblock
> > mit 1 bzw. 2 bzw. 3 Jordankästchen)
> >
> > >
> > > Auch das kann ich denke ich bis hierhin nachvollziehen.
> > >
> > > Aber dann wird folgendes gesagt:
> > >
> > > [mm](M_f-2*I)=\pmat{1 &4 &3 \\ -1 & -2 & -1\\ 1&2 & 1 }[/mm] ,
> > > [mm]rang=2[/mm]
> > >
> > > [mm]rang(J_1-2*I)=2[/mm] , [mm]rang(J_2-2*I)=1[/mm] , [mm]rang(J_3-2*I)=0[/mm]
> > >
> > > Daraus folgt, dass [mm]J_1[/mm] die JNF ist.
> > >
> > > Auch das verstehe ich gar nicht.
> > >
> > > Wie komme ich darauf und wofür wird da die ganze Zeit ein
> > > Rang berechnet
>
>
>
> > Man will hier rausfinden, welche JNF die richtige ist.
>
> Ok.
>
>
>
> > Es gibt eine Transformationsmatrix T mit [mm]T^{-1}M_fT=J[/mm]
>
> Ok, das wusste ich nicht.
Au weia.
Dann hast Du die JNF nicht verstanden.
> Ist J dabei die Matrix der JNF?
Ja.
>
>
>
> > J-2E= [mm]T^{-1}M_fT-2T^{-1}ET=T^{-1}(M_f-2E)T,[/mm]
> >
> > also müssen J-2E und [mm]M_f-2E[/mm] denselben Rang haben
>
> Warum müssen sie denselben Rang haben?
Weil sich der Rang nicht ändert, wenn man mit invertierbaren Matrizen mutlipliziert.
Oder anders: wenn man lediglich eine andere Basis wählt, ändert sich die Dimension des Bildes einer Abbildung ja nicht.
> Woher nimmst du das J-2E?
Ich nehme das, weil Du den Rang dieser Matrix berechnen wolltest.
> Und das [mm]M_f-2E[/mm] ?
Das habe ich doch oben vorgemacht.
> Und warum?
Eigentlich hatte ich das doch geschrieben. Nochmal.
Zwei ähnliche Matrizen haben denselben Rang.
Es können J-2E und [mm] M_f-2E [/mm] also nur ähnlich sein, wenn sie denselben Rang haben.
Alle potentiellen JNF, für die das nicht der Fall ist, scheiden als JNF für [mm] M_f [/mm] aus.
> Müssen alle möglichen Matrizen für die JNF und die
> darstellende Matrix selbst ins charakteristische Polynom
> eingesetzt werden?
???
Kommt immer drauf an, was man vorhat.Hier wollte man rausfinden, welche JNF die richtige ist, und Deine Chefs haben sich nunmal ausgedacht, den Weg über den Rang zu beschreiten.
Wenn Du's mit einem anderen Weg ebenalls rausfindest, ist's auch gut.
Gruß v., Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> > > Es gibt eine Transformationsmatrix T mit [mm]T^{-1}M_fT=J[/mm]
> > Ok, das wusste ich nicht.
> Au weia.
> Dann hast Du die JNF nicht verstanden.
Also ich habe nochmal meine Mitschrift durchforstet, aber mit irgendwelchen Transformationsmatrizen haben wir nix gemacht
> > Woher nimmst du das J-2E?
> Ich nehme das, weil Du den Rang dieser Matrix berechnen
> wolltest.
> > Und das [mm]M_f-2E[/mm] ?
> Das habe ich doch oben vorgemacht.
> > Und warum?
> Eigentlich hatte ich das doch geschrieben. Nochmal.
>
> Zwei ähnliche Matrizen haben denselben Rang.
>
> Es können J-2E und [mm]M_f-2E[/mm] also nur ähnlich sein, wenn sie
> denselben Rang haben.
Was ich hier nicht verstehe, ist, warum ich gerade J-2E und [mm] M_f-2E [/mm] wähle.
Warum nicht nur J oder nur [mm] M_f [/mm] oder J-E oder J-3E oder sowas.
Warum gerade J-2E und [mm] M_f-2E [/mm] ?
LG, Nadine
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> Hallo Angela!
>
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> > > > Es gibt eine Transformationsmatrix T mit [mm]T^{-1}M_fT=J[/mm]
>
> > > Ok, das wusste ich nicht.
>
> > Au weia.
> > Dann hast Du die JNF nicht verstanden.
>
> Also ich habe nochmal meine Mitschrift durchforstet, aber
> mit irgendwelchen Transformationsmatrizen haben wir nix
> gemacht
Hallo,
das kann nicht sein.
Wenn Ihr Darstellungsmatrizen bzgl. verschiedener Basen gemacht habt, dann hattet Ihr auch Basiswechselmatrizen.
Und eine JNF ist ja auch nichts anderes als die Darstellungsmatrix bzgl einer gewissen Basis.
>
>
>
> > > Woher nimmst du das J-2E?
>
> > Ich nehme das, weil Du den Rang dieser Matrix berechnen
> > wolltest.
>
> > > Und das [mm]M_f-2E[/mm] ?
>
> > Das habe ich doch oben vorgemacht.
>
> > > Und warum?
>
> > Eigentlich hatte ich das doch geschrieben. Nochmal.
> >
> > Zwei ähnliche Matrizen haben denselben Rang.
> >
> > Es können J-2E und [mm]M_f-2E[/mm] also nur ähnlich sein, wenn sie
> > denselben Rang haben.
>
> Was ich hier nicht verstehe, ist, warum ich gerade J-2E und
> [mm]M_f-2E[/mm] wähle.
>
> Warum nicht nur J oder nur [mm]M_f[/mm] oder J-E oder J-3E oder
> sowas.
Über [mm] J_i [/mm] und [mm] M_f [/mm] will man ja was herausfinden.
Eine Idee war, das mithilfe von J-2E und [mm] M_f-2E [/mm] zu tun.
Das sagt aber ja nicht, daß es der einzige Weg ist.
Wenn Du einen anderen hast, der funktioniert, dann ist der ebenso gut.
Man hatte ja, daß 2 der einzige Eigenwert von [mm] M_f [/mm] ist.
Daher sind Untersuchungen der Ränge von [mm] J_i-3E [/mm] und [mm] M_f-3E [/mm] wertlos. Es kann ja nicht anders sein, als daß hier der Rang jeweils =3 ist.
Bei J-3E aufgrund der Machart der Transformationsmatrizen, bei [mm] M_f-3E [/mm] aufgrund der tatsache, daß eben die 2 der einzige Eigenwert ist.
Gruß v. Angela
>
> Warum gerade J-2E und [mm]M_f-2E[/mm] ?
>
>
>
> LG, Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> das kann nicht sein.
>
> Wenn Ihr Darstellungsmatrizen bzgl. verschiedener Basen
> gemacht habt, dann hattet Ihr auch Basiswechselmatrizen.
Ja, das hatten wir.
Wir hatten es bei den JNF aber nicht mehr erwähnt und irgendwie hab ich die Zusammenhänge selber nicht erkannt.
> Und eine JNF ist ja auch nichts anderes als die
> Darstellungsmatrix bzgl einer gewissen Basis.
Also das heißt:
Wenn ich eine Matrix [mm] M_f [/mm] als Darstellungsmatrix zu einer Abbildung f gegeben habe, und anhand dieser Matrix [mm] M_f [/mm] die JNF ermittle, dann ist die JNF auch eine Darstellungsmatrix zur selben Abbildung, aber bzgl. einer anderen Basis als [mm] M_f.
[/mm]
Stimmt das so?
Und dann kann ich mir die Matrix J aus der Matrix M bestimmen:
[mm] J=T^{-1}*M*T [/mm] wobei T dann eine Basiswechselmatrix ist.
Andersrum kann ich auch M aus J bestimmen, indem ich [mm] M=S^{-1}*J*S [/mm] setze, mit S Basiswechselmatrix, wobei in dem Fall [mm] S^{-1}=T [/mm] und [mm] S=T^{-1} [/mm] ist.
Stimmt das so?
Und anhand dieser Transformationsformeln seh ich auch, dass die Matrizen [mm] M_f [/mm] und J ähnlich zueinander sind (was ja immer alle Matrizen zu einer Abbildung sein müssen).
Denn wenn J ähnlich ist zu [mm] M_f [/mm] , dann kann ich eine invertierbare Matrix A finden, so dass [mm] J=A^{-1}*M*A [/mm] wobei in dem Fall A dann genau die Basiswechselmatrix ist.
Stimmt das auch so?
> Über [mm]J_i[/mm] und [mm]M_f[/mm] will man ja was herausfinden.
>
> Eine Idee war, das mithilfe von J-2E und [mm]M_f-2E[/mm] zu tun.
> Das sagt aber ja nicht, daß es der einzige Weg ist.
> Wenn Du einen anderen hast, der funktioniert, dann ist der
> ebenso gut.
>
> Man hatte ja, daß 2 der einzige Eigenwert von [mm]M_f[/mm] ist.
>
> Daher sind Untersuchungen der Ränge von [mm]J_i-3E[/mm] und [mm]M_f-3E[/mm]
> wertlos. Es kann ja nicht anders sein, als daß hier der
> Rang jeweils =3 ist.
> Bei J-3E aufgrund der Machart der Transformationsmatrizen,
> bei [mm]M_f-3E[/mm] aufgrund der tatsache, daß eben die 2 der
> einzige Eigenwert ist.
Also das verstehe ich irgendwie immer noch nicht.
Wenn ich über J und [mm] M_f [/mm] etwas herausfinden will, und ich hab die Formel [mm] J=T^{-1}*M*T [/mm] , reicht es dann nicht, den Rang von [mm] M_f [/mm] und allen [mm] J_i [/mm] zu bestimmen, und die [mm] J_i [/mm] rauszuschmeißen, deren Rang nicht gleich dem Rang von [mm] M_f [/mm] ist?
Also dass ich dabei den Eigenwert 2 benutze und gerade die Formel J-2E und [mm] M_f-2E [/mm] benutze, verstehe ich immer noch nicht.
LG, Nadine
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> > Und eine JNF ist ja auch nichts anderes als die
> > Darstellungsmatrix bzgl einer gewissen Basis.
>
> Also das heißt:
> Wenn ich eine Matrix [mm]M_f[/mm] als Darstellungsmatrix zu einer
> Abbildung f gegeben habe, und anhand dieser Matrix [mm]M_f[/mm] die
> JNF ermittle, dann ist die JNF auch eine Darstellungsmatrix
> zur selben Abbildung, aber bzgl. einer anderen Basis als
> [mm]M_f.[/mm]
> Stimmt das so?
Hallo,
ja.
>
> Und dann kann ich mir die Matrix J aus der Matrix M
> bestimmen:
> [mm]J=T^{-1}*M*T[/mm] wobei T dann eine Basiswechselmatrix ist.
> Andersrum kann ich auch M aus J bestimmen, indem ich
> [mm]M=S^{-1}*J*S[/mm] setze, mit S Basiswechselmatrix, wobei in dem
> Fall [mm]S^{-1}=T[/mm] und [mm]S=T^{-1}[/mm] ist.
> Stimmt das so?
Ja, wenn Du die Basiswechselmatrix kennst, dann ist das so.
>
> Und anhand dieser Transformationsformeln seh ich auch, dass
> die Matrizen [mm]M_f[/mm] und J ähnlich zueinander sind (was ja
> immer alle Matrizen zu einer Abbildung sein müssen).
> Denn wenn J ähnlich ist zu [mm]M_f[/mm] , dann kann ich eine
> invertierbare Matrix A finden, so dass [mm]J=A^{-1}*M*A[/mm] wobei
> in dem Fall A dann genau die Basiswechselmatrix ist.
> Stimmt das auch so?
Ja.
>
>
>
> > Über [mm]J_i[/mm] und [mm]M_f[/mm] will man ja was herausfinden.
> >
> > Eine Idee war, das mithilfe von J-2E und [mm]M_f-2E[/mm] zu tun.
> > Das sagt aber ja nicht, daß es der einzige Weg ist.
> > Wenn Du einen anderen hast, der funktioniert, dann ist
> der
> > ebenso gut.
> >
> > Man hatte ja, daß 2 der einzige Eigenwert von [mm]M_f[/mm] ist.
> >
> > Daher sind Untersuchungen der Ränge von [mm]J_i-3E[/mm] und [mm]M_f-3E[/mm]
> > wertlos. Es kann ja nicht anders sein, als daß hier der
> > Rang jeweils =3 ist.
> > Bei J-3E aufgrund der Machart der
> Transformationsmatrizen,
> > bei [mm]M_f-3E[/mm] aufgrund der tatsache, daß eben die 2 der
> > einzige Eigenwert ist.
>
> Also das verstehe ich irgendwie immer noch nicht.
> Wenn ich über J und [mm]M_f[/mm] etwas herausfinden will, und ich
> hab die Formel [mm]J=T^{-1}*M*T[/mm] , reicht es dann nicht, den
> Rang von [mm]M_f[/mm] und allen [mm]J_i[/mm] zu bestimmen, und die [mm]J_i[/mm]
> rauszuschmeißen, deren Rang nicht gleich dem Rang von [mm]M_f[/mm]
> ist?
Wenn Dich solche Fragen umtreiben, dann ist es immer gut, mal selbst mit ein paar Beispielen zu experimentieren.
Das, was Du sagst, bringt doch bei Deiner Matrix gar nichts:
alle möglichen JNF [mm] J_i [/mm] haben den Rang 3 - welchen Erkenntnisgewinn erhoffst Du Dir?
> Also dass ich dabei den Eigenwert 2 benutze und gerade die
> Formel J-2E und [mm]M_f-2E[/mm] benutze, verstehe ich immer noch
> nicht.
Ich sag's mal so: man macht's, weil man hier einen Erkenntnisgewinn verbuchen kann...
Ich würde mich aber hieran gar nicht so lange aufhalten.
Versuch doch mal, auf einem anderen Weg herauszufinden, welches bei diesem Beispiel die richtige JNF ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Do 14.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Vielen Dank für deine Hilfe, Angela
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