Jordan-Normal-Form < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier ein Beispiel zu Normalformen, was ich nicht verstehe.
Ich denke, dass es sich um die Jordan-Normal-Form handelt, da auf den Diagonalen der Matrizen Eigenwerte stehen.
Hier mal das Beispiel:
$dim(V)=2$
$f:V [mm] \to [/mm] V$ Endomorphismus
[mm] p_f(X)=(X-\lambda_1)*(X-\lambda_2) [/mm] charakteristisches Polynom
Wir haben das Beispiel in zwei Fälle unterteilt, einmal [mm] \lambda_1\not=\lambda_2 [/mm] und einmal [mm] \lambda_1=\lambda_1
[/mm]
Aber bei Fall 1 (ungleiche Eigenwerte) komm ich schon nicht weiter :-(
Wir sagen, beide Eigenwerte haben sowohl algebraische als auch geometrische Vielfachheit 1.
Dann folgern wir daraus, dass f diagonalisierbar ist.
Und dann wissen wir, dass die Normalform (=Jordan-Normal-Form?) von f entweder [mm] \pmat{ \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 } [/mm] oder [mm] \pmat{ \lambda_2 & 0 \\ 0 & \lambda_1 }.
[/mm]
Also was ich selbst nachvollziehen kann, ist, dass die algebraische Vielfachheit 1 ist, den die algebraische Vielfachheit ist ja die Häufigkeit des [mm] \lambda_i [/mm] als Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
Aber wie komme ich auf die geometrische Vielfachheit? Das ist ja die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert [mm] \lambda_i.
[/mm]
Die Formel für den Eigenraum lautet ja u.a. [mm] Ker(f-\lambda*id), [/mm] und davon brauch ich dann die Dimension.
Aber wie soll ich [mm] Ker(f-\lambda_1*id) [/mm] berechnen? Wie berechne ich überhaupt die Differenz einer Abbildung und einer Matrix? Muss ich die Abbildung zuerst durch eine beschreibende Matrix ersetzen? Aber wie soll ich das machen, wenn ich nix gegeben hab?
Weiter versteh ich nicht, warum ich aus den Vielfachheiten schließen kann, dass f diagonalisierbar ist.
Auf die Blöcke komm ich dann glaub ich wieder.
Da für beide Eigenwerte die geometrische Vielfachheit 1 ist, gibt es zu jedem Eigenwert ein Kästchen.
Und in jedem Kästchen steht der Eigenwert einmal auf der Diagonalen, weil die algebraische Vielfachheit 1 ist.
Und da die Jordan-Normal-Form eindeutig bis auf Umordnung der Böcke ist, gibt es eben die beiden Möglichkeiten.
Stimmt das so?
Könnte mir vielleicht jemand das mit der geometrischen Vielfachheit und der Diagonalisierbarkeit erklären?
Und eine Frage zur Umordnung der Blöcke hab ich noch:
Wir haben hier irgendwie mehrere Blöcke. Zu einem kann es ja zu einem Eigenwert mehrere Jordan-Blöcke geben. Und dann haben wir noch alle Jordan-Blöcke zu einem Eigenwert zu einem Block zusammengefasst.
Auf welche Blöcke bezieht sich die Umordnung dann?
Vielen Dank.
LG Nadine
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> Hallo zusammen!
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> Ich habe hier ein Beispiel zu Normalformen, was ich nicht
> verstehe.
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> Ich denke, dass es sich um die Jordan-Normal-Form handelt,
> da auf den Diagonalen der Matrizen Eigenwerte stehen.
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> Hier mal das Beispiel:
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> [mm]dim(V)=2[/mm]
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> [mm]f:V \to V[/mm] Endomorphismus
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> [mm]p_f(X)=(X-\lambda_1)*(X-\lambda_2)[/mm] charakteristisches
> Polynom
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> Wir haben das Beispiel in zwei Fälle unterteilt, einmal
> [mm]\lambda_1\not=\lambda_2[/mm] und einmal [mm]\lambda_1=\lambda_1[/mm]
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> Aber bei Fall 1 (ungleiche Eigenwerte) komm ich schon nicht
> weiter :-(
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> Wir sagen, beide Eigenwerte haben sowohl algebraische als
> auch geometrische Vielfachheit 1.
>
> Dann folgern wir daraus, dass f diagonalisierbar ist.
>
> Und dann wissen wir, dass die Normalform
> (=Jordan-Normal-Form?) von f entweder [mm]\pmat{ \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 }[/mm]
> oder [mm]\pmat{ \lambda_2 & 0 \\ 0 & \lambda_1 }.[/mm]
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> Also was ich selbst nachvollziehen kann, ist, dass die
> algebraische Vielfachheit 1 ist, den die algebraische
> Vielfachheit ist ja die Häufigkeit des [mm]\lambda_i[/mm] als
> Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
>
> Aber wie komme ich auf die geometrische Vielfachheit? Das
> ist ja die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert
> [mm]\lambda_i.[/mm]
>
> Die Formel für den Eigenraum lautet ja u.a.
> [mm]Ker(f-\lambda*id),[/mm] und davon brauch ich dann die
> Dimension.
>
> Aber wie soll ich [mm]Ker(f-\lambda_1*id)[/mm] berechnen? Wie
> berechne ich überhaupt die Differenz einer Abbildung und
> einer Matrix?
Hallo,
hier gibt's keine Differenz von matrix und Abbildung.
f und id sind doch beides Abbildungen?
Die Dimension von [mm] Kern(f-\lambda [/mm] id) berechnest Du, indem Du [mm] Kern(M_f-\lambda [/mm] E) berechnest.
>Muss ich die Abbildung zuerst durch eine
> beschreibende Matrix ersetzen? Aber wie soll ich das
> machen, wenn ich nix gegeben hab?
Wenn der VR die Dimension 2 hat und zwei verschiedene Eigenwerte, dann spannt jeder der beiden Eigenwerte den zugehörigen Eigenraum auf.
>
> Weiter versteh ich nicht, warum ich aus den Vielfachheiten
> schließen kann, dass f diagonalisierbar ist.
Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.
Du hast hier zwei l.u. Eigenvektoren und einen VR der Dimension 2.
Also bilden die beiden Eigenvektoren eine Basis des VRes, und die darstellungsmatrix der Abbildung bzgl. dieser Basis ist eine Diagonalmatrix.
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> Auf die Blöcke komm ich dann glaub ich wieder.
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> Da für beide Eigenwerte die geometrische Vielfachheit 1
> ist, gibt es zu jedem Eigenwert ein Kästchen.
>
> Und in jedem Kästchen steht der Eigenwert einmal auf der
> Diagonalen, weil die algebraische Vielfachheit 1 ist.
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> Und da die Jordan-Normal-Form eindeutig bis auf Umordnung
> der Böcke ist, gibt es eben die beiden Möglichkeiten.
>
> Stimmt das so?
Ja.
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> Könnte mir vielleicht jemand das mit der geometrischen
> Vielfachheit und der Diagonalisierbarkeit erklären?
nxn-Matrizen sind diagonalisierbar, wenn es eine basis des Raumes aus Eigenvektoren gibt, und das ist der fall, wenn die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten üereinstimmen.
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> Und eine Frage zur Umordnung der Blöcke hab ich noch:
>
> Wir haben hier irgendwie mehrere Blöcke. Zu einem kann es
> ja zu einem Eigenwert mehrere Jordan-Blöcke geben. Und
> dann haben wir noch alle Jordan-Blöcke zu einem Eigenwert
> zu einem Block zusammengefasst.
>
> Auf welche Blöcke bezieht sich die Umordnung dann?
Zum einen kannst Du die Blöcke beliebig anordnen, und innerhalb der Blöcke im prinzip auch die Käastchen.
Es gibt aber Konventionen: die Blöcke zu den größten Eigenwerten kommen i.d.R. zuerst, und innerhalb der Blöcke erst die größen Kästchen, dann die kleinen.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank.
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> LG Nadine
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