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Hallo,
ich habe hier einen Beweis zur Jensen-Formel vorliegen, und einen Beweis der darauf aufbaut, beide würde ich gerne verstehen.
Mein Problem liegt daran, dass soweit ich das sehe, im Beweis der Jensen-Formel davon ausgeganngen wird, dass die betrachtete Funktion nur endlich viele Nullstellen hat, und der darauffolgende Beweis aber die Jensen-Formel für unendlich viele Nullstellen benutzt.
Die Jensen-Formel ist wie folgt definiert:
Sei [mm]\Omega=D(0;R)[/mm] also der Kreis mit Radius [mm]R[/mm] um [mm]0[/mm], und [mm]f[/mm] holomorph auf [mm]\Omega[/mm] mit [mm]f(0) \neq 0[/mm]. Außerdem gelte [mm]0
[mm]|f(0)| \prod_{n=1}^{N} \frac{r}{|\alpha_n|}=\exp\left\{ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \log\left| f(re^{i\phi})\right|d\phi \right\}[/mm].
Meine Frage wäre jetzt, gilt die Jensen-Formel überhaupt, falls f unendlich viele Nullstellen hat, also evtl. [mm]N=\infty[/mm] ist?
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Reticella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:31 Do 07.02.2013 | | Autor: | Reticella |
Ich glaube ich habe gerade eine Erleuchtung....
Stimmt es, dass [mm]f[/mm] in [mm]\bar{D}(0;r)[/mm] überhaupt nur endlich viele Nullstellen haben kann, da [mm]\bar{D}(0;r)[/mm] kompakt ist?
Ich kann mich dunkel an so einen Satz erinnern...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:58 Do 07.02.2013 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo,
> ich habe hier einen Beweis zur Jensen-Formel vorliegen,
> und einen Beweis der darauf aufbaut, beide würde ich gerne
> verstehen.
> Mein Problem liegt daran, dass soweit ich das sehe, im
> Beweis der Jensen-Formel davon ausgeganngen wird, dass die
> betrachtete Funktion nur endlich viele Nullstellen hat, und
> der darauffolgende Beweis aber die Jensen-Formel für
> unendlich viele Nullstellen benutzt.
> Die Jensen-Formel ist wie folgt definiert:
>
> Sei [mm]\Omega=D(0;R)[/mm] also der Kreis mit Radius [mm]R[/mm] um [mm]0[/mm], und [mm]f[/mm]
> holomorph auf [mm]\Omega[/mm] mit [mm]f(0) \neq 0[/mm]. Außerdem gelte
> [mm]0
> von [mm]f[/mm] in [mm]\bar{D}(0;r)[/mm], aufgelistet entsprechend ihrer
> Vielfachheiten. Dann gilt:
> [mm]|f(0)| \prod_{n=1}^{N} \frac{r}{|\alpha_n|}=\exp\left\{ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \log\left| f(re^{i\phi})\right|d\phi \right\}[/mm].
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> Meine Frage wäre jetzt, gilt die Jensen-Formel überhaupt,
> falls f unendlich viele Nullstellen hat, also evtl.
> [mm]N=\infty[/mm] ist?
>
> Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
> Reticella
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f hat in D(0,r) höchstens endlich viele Nullstellen, denn anderenfalls würden sich die Nullstellen von f in D(0,R) häufen. Dann wäre aber f konstan (=0).
FRED
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