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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:42 So 17.10.2010 | | Autor: | perl |
danke! hat sich geklärt! ziehe meine frage zurück^^
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> Sei [mm]f:\IR^{2}\to\IR^{2},[/mm] f(x,y) := [mm](x^{3},x^{2}+y^{2})[/mm]
> A) bestimme [mm]f^{-1}({(1,5)}).[/mm]
> B) zeige: f ist in allen Punten von [mm]f^{-1}({(1,5)})[/mm] lokal
> umkehrbar.
> C) Für jeden Punkt p element von [mm]f^{-1}({(1,5)})[/mm] sei
> [mm]f^{-1}_{p}[/mm] eine lokale Umkehrabb. Berechnen sie
> [mm]J_{f^{-1}}(1,5)[/mm] für jedes p element von f{-1}({(1,5)}).
>
>
> a) das Urbild von (1,5) ist die Mege {(1,2),(1,-2)}
> b) Jakobi-Det. ergibt +_{-}12 [mm]\not=[/mm] 0 --> bijektiv und
> damit umkehrbar
>
> c)
> so hier steh ich jetz auf dem schlauch... Ich denke ich
> brauche die Formel:
> [mm]J_{f^{-1}}(y)= J_{f}(f^{-1}(y))^{-1}[/mm]
> wie benutze ich die
> jetzt?
[mm]J_{f^{-1}(1,-2)}(1,5)= J_{f}(f(1,-2))^{-1}[/mm]
nu... und das ist jetzt = [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 2 & -4 }
[/mm]
--> = [mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & 0 \\ \bruch{1}{6} & \bruch{-1}{4} }
[/mm]
Für [mm] J_{f^{-1}(1,2)} [/mm] analog.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 So 17.10.2010 | | Autor: | perl |
> > Sei [mm]f:\IR^{2}\to\IR^{2},[/mm] f(x,y) := [mm](x^{3},x^{2}+y^{2})[/mm]
> > A) bestimme [mm]f^{-1}({(1,5)}).[/mm]
> > B) zeige: f ist in allen Punten von [mm]f^{-1}({(1,5)})[/mm]
> lokal
> > umkehrbar.
> > C) Für jeden Punkt p element von [mm]f^{-1}({(1,5)})[/mm] sei
> > [mm]f^{-1}_{p}[/mm] eine lokale Umkehrabb. Berechnen sie
> > [mm]J_{f^{-1}}(1,5)[/mm] für jedes p element von f{-1}({(1,5)}).
> >
> >
> > a) das Urbild von (1,5) ist die Mege {(1,2),(1,-2)}
> > b) Jakobi-Det. ergibt +_{-}12 [mm]\not=[/mm] 0 --> bijektiv und
> > damit umkehrbar
> >
> > c)
> > so hier steh ich jetz auf dem schlauch... Ich denke ich
> > brauche die Formel:
> > [mm]J_{f^{-1}}(y)= J_{f}(f^{-1}(y))^{-1}[/mm]
> > wie benutze
> ich die
> > jetzt?
> [mm]J_{f^{-1}(1,-2)}(1,5)= J_{f}(f(1,-2))^{-1}[/mm]
> nu... und das
> ist jetzt = [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 2 & -4 }[/mm]
das verstehe ich nicht :( kann mir das wer erklären??
> --> = [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} & 0 \\ \bruch{1}{6} & \bruch{-1}{4} }[/mm]
auch wenn ich das oben jetzt verstehn würd... wo kommt hier das 1/6 her?
> Für [mm]J_{f^{-1}(1,2)}[/mm] analog.
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Hallo perl,
> > > c)
> > > so hier steh ich jetz auf dem schlauch... Ich denke
> ich
> > > brauche die Formel:
> > > [mm]J_{f^{-1}}(y)= J_{f}(f^{-1}(y))^{-1}[/mm]
> > > wie
> benutze
> > ich die
> > > jetzt?
> > [mm]J_{f^{-1}(1,-2)}(1,5)= J_{f}(f(1,-2))^{-1}[/mm]
> > nu... und
> das
> > ist jetzt = [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 2 & -4 }[/mm]
Das ist die Jacobi-Matrix von f an der Stelle (1,-2).
> das verstehe ich
> nicht :( kann mir das wer erklären??
> > --> = [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} & 0 \\ \bruch{1}{6} & \bruch{-1}{4} }[/mm]
Und das ist die Inverse zur obigen Matrix.
>
> auch wenn ich das oben jetzt verstehn würd... wo kommt
> hier das 1/6 her?
Die Inverse ist zunächst
[mm]-\bruch{1}{12}*\pmat{-4 & 0 \\ -2 & 3}[/mm]
Der Faktor [mm]-\bruch{1}{12}[/mm] wurde dann in die Matrix hinein multipliziert:
[mm]\pmat{\blue{-\bruch{1}{12}}\left(-4\right) & \blue{-\bruch{1}{12}}*0 \\ \blue{-\bruch{1}{12}}*\left(-2\right) & \blue{-\bruch{1}{12}}*3}[/mm]
> > Für [mm]J_{f^{-1}(1,2)}[/mm] analog.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:47 So 17.10.2010 | | Autor: | perl |
> > > > c)
> > > > so hier steh ich jetz auf dem schlauch... Ich
> denke
> > ich
> > > > brauche die Formel:
[mm]J_{f^{-1}}(y)= J_{f}(f^{-1}(y))^{-1}[/mm]
> > > >
> wie
> > benutze
> > > ich die
> > > > jetzt?
[mm]J_{f^{-1}(1,-2)}(1,5)= J_{f}(f(1,-2))^{-1}[/mm]
> > > nu...
> und
> > das
> > > ist jetzt = [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 2 & -4 }[/mm]
>
>
> Das ist die Jacobi-Matrix von f an der Stelle (1,-2).
so weit klar, danke! aber ich bringe die beiden formeln nicht in Einklang mit einander....
Bei der allg. Formel ist es klar. Es geht nur um eine andere Schreibweise. Aber bei der zweiten Formel (die auf diese Aufgabe bezogen ist) steht (1,5) noch mit dabei... wieso?
kann mir wer die 2. Formel mal in worten schreiben?
heißt das dann:
die Jakobi-Matrix von [mm] f^{-1}(1,-2) [/mm] für die Abbildung (1,5)??
Ihr seid spitze, DANKE!
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> > das verstehe ich
> > nicht :( kann mir das wer erklären??
> > > --> = [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} & 0 \\ \bruch{1}{6} & \bruch{-1}{4} }[/mm]
>
>
> Und das ist die Inverse zur obigen Matrix.
>
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> >
> > auch wenn ich das oben jetzt verstehn würd... wo kommt
> > hier das 1/6 her?
>
>
> Die Inverse ist zunächst
>
> [mm]-\bruch{1}{12}*\pmat{-4 & 0 \\ -2 & 3}[/mm]
>
> Der Faktor [mm]-\bruch{1}{12}[/mm] wurde dann in die Matrix hinein
> multipliziert:
>
> [mm]\pmat{\blue{-\bruch{1}{12}}\left(-4\right) & \blue{-\bruch{1}{12}}*0 \\ \blue{-\bruch{1}{12}}*\left(-2\right) & \blue{-\bruch{1}{12}}*3}[/mm]
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> > > Für [mm]J_{f^{-1}(1,2)}[/mm] analog.
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>
>
> Gruss
MathePower
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