Jacobi Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Sa 31.10.2015 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Bestimmen sie für $ A [mm] \in \IR^{mxn}$ [/mm] und [mm] $b\in \IR^m$ [/mm] die Jacobi-Matrix der Abbildung [mm] $f:\IR^n \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto ||Ax-b||_2^{2}$
[/mm]
Berechnen sie zunächst die Jacobi-Matrizen der Abbildungen [mm] $g:\IR^m \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto ||x||_2^{2}$ [/mm] und [mm] $h:\IR^n \to \IR^m [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] Ax-b$
und verwenden sie anschließen die Kettenregel |
1) Ableitung von [mm] $g:\IR^m \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto ||x||_2^{2}= $($\sqrt{\summe_{i=1}^{m} x_i^2}$)^2= \summe_{i=1}^{m} x_i^2$ [/mm]
so jetzt [mm] $\summe_{i=1}^{m} x_i^2= x_1^2+x_2^2+x_3^2+.......+x_m^2$ [/mm] und wir wollen die Jacobi matrix haben,dazu brauche ich ja erstmal alle partiellen ableitungen. [mm] $\frac{dg}{dx_i}\summe_{i=1}^{m} x_i^2$ [/mm] . z.bsp ist eine partielle Ableitung [mm] $\frac{dg}{dx_1}\summe_{i=1}^{1} x_i^2= 2x_1 [/mm] $
das heißt die Jacobimatrix [mm] $J(g)(x_1,...,x_m)=\pmat{ 2x_1& 2x_2&...&2x_m }$
[/mm]
die Ableitungen von [mm] $h:\IR^n \to \IR^m [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] Ax-b$ müsste ja einfach $A$ sein,oder nicht?
$Ax-b = [mm] \pmat{ a_{11} & ....&a_{m1} \\ \\ a_{1n}&...... &a_{mn}}\codt{}\vektor{x_1\\ x_2\\...\\x_n}-\vektor{b_1\\ b_2\\...\\b_m}$, [/mm] da ja alle anderen $x$ wegfallen bzw. das $a$ als koeffizient außer jenes ,welches gerade partielle abgeleitet wird?
also $J(h) = A = [mm] \pmat{ a_{11} & ....&a_{m1} \\ \\ a_{1n}&...... &a_{mn}}$
[/mm]
jetzt kettenregel:
[mm] $(g\circ [/mm] h [mm] )'(x)=g'(h)\codt{}h'(x)$
[/mm]
[mm] g'(h)=\pmat{ 2x_1& 2x_2&...&2x_m}$
[/mm]
und hier hackt es jetzt...:/
bitte hilfe..:/
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Hallo LGS,
> Bestimmen sie für [mm]A \in \IR^{mxn}[/mm] und [mm]b\in \IR^m[/mm] die
> Jacobi-Matrix der Abbildung [mm]f:\IR^n \to \IR , x \mapsto ||Ax-b||_2^{2}[/mm]
>
>
> Berechnen sie zunächst die Jacobi-Matrizen der
> Abbildungen [mm]g:\IR^m \to \IR , x \mapsto ||x||_2^{2}[/mm] und
> [mm]h:\IR^n \to \IR^m , x \mapsto Ax-b[/mm]
> und verwenden sie
> anschließen die Kettenregel
> 1) Ableitung von [mm]g:\IR^m \to \IR[/mm] , x [mm][mm] \mapsto ||x||_2^{2}=[/mm] [mm]([/mm][mm] \sqrt{\summe_{i=1}^{m} x_i^2}[/mm] [mm])^2= \summe_{i=1}^{m} x_i^2[/mm]
>
>
> so jetzt [mm]\summe_{i=1}^{m} x_i^2= x_1^2+x_2^2+x_3^2+.......+x_m^2[/mm]
> und wir wollen die Jacobi matrix haben,dazu brauche ich ja
> erstmal alle partiellen ableitungen.
> [mm]\frac{dg}{dx_i}\summe_{i=1}^{m} x_i^2[/mm] . z.bsp ist eine
> partielle Ableitung [mm]\frac{dg}{dx_1}\summe_{i=1}^{1} x_i^2= 2x_1[/mm]
>
> das heißt die Jacobimatrix [mm]J(g)(x_1,...,x_m)=\pmat{ 2x_1& 2x_2&...&2x_m }[/mm]
>
>
> die Ableitungen von [mm]h:\IR^n \to \IR^m , x \mapsto Ax-b[/mm]
> müsste ja einfach [mm]A[/mm] sein,oder nicht?
>
>
> [mm]Ax-b = \pmat{ a_{11} & ....&a_{m1} \\ \\ a_{1n}&...... &a_{mn}}\codt{}\vektor{x_1\\ x_2\\...\\x_n}-\vektor{b_1\\ b_2\\...\\b_m}[/mm],
Du hast bei A Zeilen und Spalten vertauscht, oder?
Das soll doch eine [mm]m\times n[/mm]-Matrix sein ...
> da ja alle anderen [mm]x[/mm] wegfallen bzw. das [mm]a[/mm] als koeffizient
> außer jenes ,welches gerade partielle abgeleitet wird?
>
>
> also [mm]J(h) = A = \pmat{ a_{11} & ....&a_{m1} \\ \\ a_{1n}&...... &a_{mn}}[/mm]
Auch hier: Zeilen und Spalten vertauscht, oder?
Die Jacobimatrix müsste doch vom Formal [mm]m\times n[/mm] sein ..
>
>
> jetzt kettenregel:
>
> [mm](g\circ h )'(x)=g'(h)\codt{}h'(x)[/mm]
>
> [mm]g'(h)=\pmat{ 2x_1& 2x_2&...&2x_m}[/mm]
>
>
> und hier hackt es jetzt...:/
Oder hakt es gar? 
Kettenregel für die Jacobimatrix:
[mm]J_f(\vec x)=J_{g\circ h}(\vec x) \ = \ J_g(h(\vec x))\cdot{}J_h(\vec x)[/mm]
Und das ergibt doch eine [mm]1\times n[/mm]-Matrix, so wie es sein sollte ...
>
>
> bitte hilfe..:/
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 31.10.2015 | | Autor: | LGS |
hallo:)
$ Ax-b = [mm] \pmat{ a_{11} & ....&a_{n1} \\ \\ a_{1m}&...... &a_{nm}}\codt{}\vektor{x_1\\ x_2\\...\\x_n}-\vektor{b_1\\ b_2\\...\\b_m} [/mm] $
aber ich komm einfach nicht aufs ergebenis...:/
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Sa 31.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> hallo:)
>
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> [mm]Ax-b = \pmat{ a_{11} & ....&a_{n1} \\ \\ a_{1m}&...... &a_{nm}}\codt{}\vektor{x_1\\ x_2\\...\\x_n}-\vektor{b_1\\ b_2\\...\\b_m}[/mm]
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> aber ich komm einfach nicht aufs ergebenis...:/
Du musst doch nur 2 Matrizen miteinander multiplizieren. Wo hast Du Probleme ?
Fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 01.11.2015 | | Autor: | LGS |
sind die ableitungen denn richtig?...:/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 So 01.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> sind die ableitungen denn richtig?...:/
Ja
Fred
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