Jacobi / Gauß-Seidel Verfahren < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 So 18.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | Mit Hilfe der Jacobi-Iteration bestimme man einen Näherunslösung des folgenden Gleichungssystems:
3*x+y=1
x+4y*z=1
y*3*z=1
Als Startvektor verwende man den NUll-Vektor. Man ermittle ebenfalls eine Näherungslösung mit dem Verfahren nach Gauß-Seidel. |
Hallo!
Werde morgen über dieses Beispiel geprüft, bzw. aoll ich anhand dieses Beispiels morgen den Unterschied der beiden Verfahren erläutern! Deshalb würde ich um kurze Kontrolle bitten, damit ich mich auch sicher nicht verrechnet habe:
1) Jacobi-Iteration:
[mm] A=\pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 3 }, b=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }, x_{0}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
a) Aufspaltung der Matrix A gemäß A = L+D+R ergibt:
[mm] L=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }, D=\pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }, R=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
b) Bildung der Jacobi-Iterationsmatrix gemäß [mm] T_{J}=-D^{-1}*(L+R):
[/mm]
[mm] T_{J}=\pmat{ 0 & -\bruch{1}{3} & 0 \\ -\bruch{1}{4} & 0 & -\bruch{1}{4} \\ 0 & -\bruch{1}{3} & 0 }
[/mm]
c) Berechnung der Näherungslösungen [mm] x_{i} [/mm] gemäß [mm] x_{i+1}=T_{J}*x_{i}+D^{-1}*b
[/mm]
Der Ausdruck [mm] (D^{-1}*b) [/mm] bleibt für alle Rechenschritte gleich, es ändert sich jeweils nur der Ausdruck [mm] x_{i}, [/mm] welcher bei jeder neuerlichen Berechnung durch den eben errechneten ersetzt wird.
Als Näherungslösung nach 5 Schritten erhalte ich: [mm] x_{5}=\pmat{ \bruch{65}{216} \\ \bruch{5}{48} \\ \bruch{65}{216}}
[/mm]
Bis hierher richtig??
2)Gauß-Seidel-Iteration:
a) Aufspaltung der Matrix A gemäß A = L+D+R ergibt:
[mm] L=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }, D=\pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }, R=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
b) Bildung der Gauß-Seidel-Iterationsmatrix gemäß [mm] T_{GS}=-(D+L)^{-1}*(R):
[/mm]
[mm] T_{GS}=\pmat{ 0 & -\bruch{1}{3} & 0 \\ 0 & \bruch{1}{12} & -\bruch{1}{4} \\ 0 & -\bruch{1}{36} & \bruch{1}{12} }
[/mm]
c) Berechnung der Näherungslösungen [mm] x_{i} [/mm] gemäß [mm] x_{i+1}=T_{GS}*x_{i}+(D*L)^{-1}*b
[/mm]
Der Ausdruck [mm] (D+L)^{-1*b} [/mm] bleibt für alle Rechenschritte gleich, es ändert sich jeweils nur der Ausdruck [mm] x_{i}, [/mm] welcher bei jeder neuerlichen Berechnung durch den eben errechneten ersetzt wird.
Als Näherungslösung nach 5 Schritten erhalte ich: [mm] x_{5}=\pmat{ \bruch{775}{2592} \\ \bruch{521}{5184} \\ \bruch{4663}{15552}}
[/mm]
Wie ich mittels Jacobi errechnet habe, sollten x & z die selben Werte haben! Leider kommt dies bei mir so nicht raus (zumindest nicht mit dem Verfahren lt. Gauß-Seidel)!
Stimmt das oben beschrieben so oder habe cih wo einen groben (DENK)-Fehler??
Besten Dank für eure Unterstützung!!
Lg
|
|
| |
|
Hallo mike1988,
> Mit Hilfe der Jacobi-Iteration bestimme man einen
> Näherunslösung des folgenden Gleichungssystems:
>
> 3*x+y=1
> x+4y*z=1
> y*3*z=1
>
> Als Startvektor verwende man den NUll-Vektor. Man ermittle
> ebenfalls eine Näherungslösung mit dem Verfahren nach
> Gauß-Seidel.
> Hallo!
>
> Werde morgen über dieses Beispiel geprüft, bzw. aoll ich
> anhand dieses Beispiels morgen den Unterschied der beiden
> Verfahren erläutern! Deshalb würde ich um kurze Kontrolle
> bitten, damit ich mich auch sicher nicht verrechnet habe:
>
> 1) Jacobi-Iteration:
>
> [mm]A=\pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 3 }, b=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }, x_{0}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> a) Aufspaltung der Matrix A gemäß A = L+D+R ergibt:
>
> [mm]L=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }, D=\pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }, R=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> b) Bildung der Jacobi-Iterationsmatrix gemäß
> [mm]T_{J}=-D^{-1}*(L+R):[/mm]
>
> [mm]T_{J}=\pmat{ 0 & -\bruch{1}{3} & 0 \\ -\bruch{1}{4} & 0 & -\bruch{1}{4} \\ 0 & -\bruch{1}{3} & 0 }[/mm]
>
> c) Berechnung der Näherungslösungen [mm]x_{i}[/mm] gemäß
> [mm]x_{i+1}=T_{J}*x_{i}+D^{-1}*b[/mm]
>
> Der Ausdruck [mm](D^{-1}*b)[/mm] bleibt für alle Rechenschritte
> gleich, es ändert sich jeweils nur der Ausdruck [mm]x_{i},[/mm]
> welcher bei jeder neuerlichen Berechnung durch den eben
> errechneten ersetzt wird.
>
> Als Näherungslösung nach 5 Schritten erhalte ich:
> [mm]x_{5}=\pmat{ \bruch{65}{216} \\ \bruch{5}{48} \\ \bruch{65}{216}}[/mm]
>
> Bis hierher richtig??
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2)Gauß-Seidel-Iteration:
>
> a) Aufspaltung der Matrix A gemäß A = L+D+R ergibt:
>
> [mm]L=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }, D=\pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }, R=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> b) Bildung der Gauß-Seidel-Iterationsmatrix gemäß
> [mm]T_{GS}=-(D+L)^{-1}*(R):[/mm]
>
> [mm]T_{GS}=\pmat{ 0 & -\bruch{1}{3} & 0 \\ 0 & \bruch{1}{12} & -\bruch{1}{4} \\ 0 & -\bruch{1}{36} & \bruch{1}{12} }[/mm]
>
> c) Berechnung der Näherungslösungen [mm]x_{i}[/mm] gemäß
> [mm]x_{i+1}=T_{GS}*x_{i}+(D*L)^{-1}*b[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]x_{i+1}=T_{GS}*x_{i}+(D\blue{+}L)^{-1}*b[/mm]
> Der Ausdruck [mm](D+L)^{-1*b}[/mm] bleibt für alle Rechenschritte
> gleich, es ändert sich jeweils nur der Ausdruck [mm]x_{i},[/mm]
> welcher bei jeder neuerlichen Berechnung durch den eben
> errechneten ersetzt wird.
>
> Als Näherungslösung nach 5 Schritten erhalte ich:
> [mm]x_{5}=\pmat{ \bruch{775}{2592} \\ \bruch{521}{5184} \\ \bruch{4663}{15552}}[/mm]
>
Hier erhalte ich einen anderen Wert.
> Wie ich mittels Jacobi errechnet habe, sollten x & z die
> selben Werte haben! Leider kommt dies bei mir so nicht raus
> (zumindest nicht mit dem Verfahren lt. Gauß-Seidel)!
>
> Stimmt das oben beschrieben so oder habe cih wo einen
> groben (DENK)-Fehler??
>
> Besten Dank für eure Unterstützung!!
>
> Lg
>
Gruss
MathePower
|
|
|
|
