JNF mit charakt. Polynom < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Matrix $A [mm] \in C^{7\times7}$ [/mm] habe das charakteristische Polynom
[mm] $(X^2 [/mm] + [mm] 1)^2(X-2)(X^2-1)$.
[/mm]
Welche Möglichkeiten für die Jordansche Normalform von A gibt es? |
Ich bin bis hierher gekommen:
[mm] $(X^2 [/mm] + [mm] 1)^2(X-2)(X^2-1)=$(X^2 [/mm] + [mm] 1)^2(X-2)(X-1)(x+1)$
[/mm]
Damit hat es die Eigenwerte
• 2 alg. Vielfh. 1
• 1 alg. Vielfh. 1
• -1 alg. Vielfh. 1
• [mm] $\pm [/mm] i$ alg. Vielfh. 2
Ich komm damit auf 2 Möglichkeiten. Denn das $+i$ ist ja das konjugierte vom $-i$. Damit kann der Raum vom Eigenwert i nicht anders sein als der vom $-i$. Also muss er die gleiche Form haben. Oder geht das doch?
Dann wären es 4 Möglichkeiten. Was ist jetzt richtig?
[mm]
\left(\begin{array}{ccccccc}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i\end{array}\right)[/mm]
[mm]\left(\begin{array}{ccccccc}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -i\end{array}\right)[/mm]
|
|
| |
|
Die Frage kannst du dir selbst beantworten. Denn wenn du für:
[mm]\left(\begin{array}{ccccccc}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccccccc}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccccccc}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -i\end{array}\right),=&\left(\begin{array}{ccccccc}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -i\end{array}\right)[/mm]
das charakteristische Polynom von jedem berechnest, dann erhälst du in jedem der 4 Fälle:
[mm] $(x^{2}+1)^{2}(x-2)(x-1)(x+1)$
[/mm]
Somit gibt es vier Möglichkeiten
|
|
|
|
