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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Burdy |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in \IC^{n\times n}, A=A^H [/mm] positiv definit, [mm] b\in \IC^n
[/mm]
Das LGS Ax=b soll iterativ gelöst werden wie folgt:
Rate eine Lösung [mm] x_0
[/mm]
Bis zur Konvergenz:
[mm] r_k=b-Ax_k
[/mm]
[mm] x_{k+1}=x_k [/mm] + [mm] \alpha_k*r_k
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] ||x-x_k||_A [/mm] wird minimert durch [mm] \alpha_k=\bruch{r_k^H*r_k}{r_k^H*A*r_k} [/mm] |
Bei der ersten Aufgabe fällt mir leider nichts ein. Ich hab mal versucht, [mm] x_{k+1}=x_k [/mm] + [mm] \alpha_k*r_k [/mm] in [mm] ||x-x_{k+1}||_A [/mm] einzusetzen.
[mm] ||x_{k+1}-x||=(x_k [/mm] + [mm] \alpha_k*r_k-x)^H*A*(x_k [/mm] + [mm] \alpha_k*r_k-x)
[/mm]
[mm] =(A(x_k [/mm] + [mm] \alpha_k*r_k-x))^H*(x_k [/mm] + [mm] \alpha_k*r_k-x)
[/mm]
[mm] =(r_k+b+\alpha_k*A*r_k-b)^H*(x_k [/mm] + [mm] \alpha_k*r_k-x)
[/mm]
[mm] =((I+\alpha_k*A)*r_k)^H*(x_k [/mm] + [mm] \alpha_k*r_k-x)
[/mm]
Da seh ich irgendwie nix.
Hat da vielleicht jemand eine Idee? War der Ansatz falsch? Oder gibts da eventuell Umformungen, die zum gewünschen Ergebnis führen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Sa 12.06.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \parallel x_{k+1}-x \parallel^2_A=(x_{k+1}-x)^H*A*(x_{k+1}-x)=(x_k+\alpha_kr_k-x)^H*A*(x_k+\alpha_kr_k-x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel x_{k+1}-x \parallel^2_A=(x_k+\alpha_kr_k-x)^H*(\alpha_kA-I)r_k
[/mm]
Partielle Differentation nach [mm] \alpha_k [/mm] und nullsetzen der partiellen Ableitung führt auf
[mm] r_k^H(\alpha_kA-I)r_k+(x_k+\alpha_kr_k-x)^HAr_k=0
[/mm]
Ausmultiplizieren, zusammenfassen und ausnutzen von [mm] x^HA=b^H [/mm] führt auf
[mm] 2\alpha_k*r_k^HAr_k-r_k^Hr_k+(b^H-r_k^H)r_k-b^Hr_k=0 [/mm] und dann hast Du das Ergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 So 13.06.2010 | | Autor: | Burdy |
Vielen Dank.
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