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| Aufgabe | | 3.te Wurzel aus 3 anhand des Iterationsverfahren nach Newton |
Hallo! War diese Woche wg. Krankheit nicht an der FH. Es wurde das Newtonsche Iterationsverfahren durchgenommen... Hab leider bisher noch keine Unterlagen (bekomm ich erst Mo). Wollte nun mal ein paar Aufgaben versuchen. Hab mich durch verschiedene Bücher gelesen, bräuchte aber mal ein Beispiel für eine Aufgabe der oben genannten Art.. Könnte mir mal jemand eine Beispielrechnung für 3.te Wurzel aus 3 nach diesem Verfahren geben? Kann auch was anderes in der Richtung sein.. Vielleicht komm ich dann besser klar. Vielen Dank
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Wie ich die Quadratwurzel berechne habe ich verstande. Es gibt ja diese Iterationsvorschrift.. das ist kein Problem.. nur wie mach ich es wenn ich die 3.te oder 4.te Wurzel ziehen soll? Kann ich diese Vorschrift dann auch verwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerbaby!
Um das  Newton-Verfahren anwenden zu können, musst Du dir eine Funktion konstruieren, deren Nullstelle gesucht ist und bei [mm] $\wurzel[3]{3}$ [/mm] liegt.
Das wäre z.B. $f(x) \ = \ [mm] x^3-3$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Danke, das werde ich mal versuchen! Das heißt, ich kann diese Formel hier:
[mm] x_{n+1}=\bruch{x_n + \bruch{a}{x_n}}{2}
[/mm]
nur bei quadratwurzeln verwenden? Das ist doch auch das Newtonsche Iterationsverfahren oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Sa 01.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Formel gilt nur für [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo!
Für die $n$-te Wurzel einer Zahl $a$ hieße die entsprechende Funktion, deren Nullstellen die gesuchten Wurzeln sind, analog $f$ mit [mm] $f(x)=x^n-a$. [/mm] Man erhält dann:
[mm]
x_{n+1} = x_n - \frac{x^n-a}{n\cdot x^{n-1}} = \frac{1}{n} \left( (n-1)\cdot x + \frac{a}{x^{n-1}}\right)
[/mm]
Im Falle der Kubikwurzel findet man also, ausgehend von der Näherung $b$, eine bessere Näherung mit
[mm]
\frac{2\,b + \frac{1}{b^2}}{3}
[/mm]
Gruß
Mathemak
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Blech |
Wikipedia hat eine gute ![[]](/images/popup.gif) Einführung mit Animation.
Das erklärt wie man drauf kommt; die Rekursionsformel, die Du brauchst ist:
[mm] $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
[/mm]
Diese Rekursion findet (manchmal, wenn Du einen guten Startwert für [mm] $x_0$ [/mm] findest) eine Nullstelle, d.h. Du mußt Dein Problem als Nullstellenproblem formulieren.
Du suchst [mm] $\sqrt[3]{3}$, [/mm] d.h. Du suchst ein x, so daß
[mm] $g(x)=x^3\overset{!}{=}3$.
[/mm]
Das mußt Du jetzt noch umformen, daß Du eine Nullstelle suchst:
[mm] $f(x)=x^3-3\overset{!}{=}0$
[/mm]
Und das kannst Du jetzt oben in die Rekursion einsetzen (die Funktion ist gutmütig, d.h. Du kannst einen beliebigen Startwert verwenden, [mm] $x_0=1$ [/mm] bietet sich an)
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Okay..VIelen Dank!
Ich werde das nun mal versuchen! Vielleicht klappt nun ja
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Okay, habe das jetzt mal gemacht und es hat geklappt! Hast Du gesagt, die 1 wäre passend weil du die 1 in die Konvergenzbedingung eingesetzt hast und diese dann kleiner als 1 war? So habe ich das mal gemacht.. kam dann 0,6666 raus und das ist ja kleiner 1... Habe die Nullstelle im 6 Schritt gehabt. 1,4422496
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 So 02.12.2007 | | Autor: | Blech |
> Okay, habe das jetzt mal gemacht und es hat geklappt! Hast
> Du gesagt, die 1 wäre passend weil du die 1 in die
> Konvergenzbedingung eingesetzt hast und diese dann kleiner
> als 1 war?
Nö. Ich wußte nur, daß die Lösung irgendwo um 1,4 sein mußte und damit war die 1 nicht allzu weit weg.
Außerdem war sie weit genug weg von der 0.
[mm] $x^3-3$ [/mm] hat bei 0 einen Wendepunkt, damit ist die Tangente waagrecht und Du hast eine 0 im Nenner (btw. vergiß, was ich gesagt habe, daß Du mit jedem Startwert zum Ziel kommst. 0 geht natürlich nicht, und alle Startwerte, die irgendwann zur 0 führen, gehen auch nicht, aber das sollten extrem wenige sein, und keiner größer 0).
Die Steigung der Tangente bei 1 ist 3, also schickt Dich die Iteration auch nicht erstmal in die Wüste (wenn Du für [mm] $x_0$ [/mm] einen Wert sehr nahe an 0 nimmst, kann Dein [mm] $x_1$ [/mm] beliebig groß werden, einfach weil die Tangente fast waagrecht wird und damit ihr Schnittpunkt mit der x-Achse beliebig weit rauswandert)
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| Aufgabe | [mm] x^3-4x+1 [/mm] = 0
Bestimmen Sie die Funktionswerte an den Stellen x= -3,-2,-1,0,1,2,3
Benutzen Sie anschließend das Iterationsverfahren (Newton) um die Nullstellen auf 4 Dezimalstellen genau zu berechnen |
Ja so dachte ich mir das.... Oder ist die Konvergenzbedingung unwichtig hier?
Noch eine weitere Frage zu folgender Gleichung: [mm] x^3-4x+1=0
[/mm]
Ich habe die Funktionswerte bestimmt:
x=-3 y=-14
x=-2 y= 1
x=-1 y= 4
x=0 y= 1
x=1 y= -2
x=2 y= 1
x=3 y= 16
Soweit so gut..Nun dachte ich mir wende ich das Verfahren bei folgenden Werten an: x= -2, 0, 2
Ist das soweit richtig? Ich dachte mir, die 1 liegt ja am nächsten bei der 0 und y soll ja 0 werden
Wenn ich nun das Newtonsche Iterationsverfahren anwende, kommt folgendes raus:
x=-2
n [mm] x_n-1 f(x_n-1) f´(x_n-1) x_n
[/mm]
1. -2 1 8 -2,125
2. -2,125 -0,0957031 9,546875 -2,1149755
3. -2,1149755 0,0006395 9,4193641 -2,1150434
4. -2,1150434 0,0012796 9,4202258 -2,1151792
Nun meine Frage: [mm] f(x_n-1) [/mm] sollte doch so klein wie möglich sein oder? Ist dann -2,1150 der richtige x-Wert für die Nullstelle? Denn in der nächsten Reihe (4) wird ja der [mm] f(x_n-1) [/mm] wieder größer..... Stimmt das jetzt so oder bin ich irgendwo falsch?
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SO ein Mist..... das sollte als Tabelle da stehen..
über der ersten Spalte steht: n
über der 2.ten Spalte steht: [mm] x_n-1
[/mm]
über der 3.ten Spalte steht: [mm] f(x_n-1)
[/mm]
über der 4.ten Spalte steht: [mm] f´(x_n-1)
[/mm]
über der letzten Spalte steht: [mm] x_n
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:41 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerbaby!
> Ich habe die Funktionswerte bestimmt:
> x=-3 y=-14
> x=-2 y= 1
> x=-1 y= 4
> x=0 y= 1
> x=1 y= -2
> x=2 y= 1
> x=3 y= 16
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Soweit so gut..Nun dachte ich mir wende ich das Verfahren
> bei folgenden Werten an: x= -2, 0, 2
> Ist das soweit richtig? Ich dachte mir, die 1 liegt ja am
> nächsten bei der 0 und y soll ja 0 werden
Genau, wie man auch hier sehen kann:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Wenn ich nun das Newtonsche Iterationsverfahren anwende,
> kommt folgendes raus:
>
> x=-2
>
> n [mm]x_n-1 f(x_n-1) f´(x_n-1) x_n[/mm]
>
> 1. -2 1
> 8 -2,125
> 2. -2,125 -0,0957031
> 9,546875 -2,1149755
> 3. -2,1149755 0,0006395
> 9,4193641 -2,1150434
> 4. -2,1150434 0,0012796
> 9,4202258 -2,1151792
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da musst Du Dich in der 3. Zeile verrechnet haben. Ich erhalte hier:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Nun meine Frage: [mm]f(x_n-1)[/mm] sollte doch so klein wie möglich
> sein oder?
Das hat nichts mit größer oder kleiner zu tun. Das Newton-Verfahren liefert ja Werte, die sich der Nullstelle immer mehr annähern.
Mit [mm] $x_{N1} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ -2.1149$ hast Du also Deine gesuchte Lösung der ersten Nullstelle.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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