Iterationsverfahren < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Di 07.09.2010 | | Autor: | Sven86 |
| Aufgabe | Zur Berechnung der Nullstelle(n) der Funktion f(x) = [mm] x^2 [/mm] - ln x - 2 [mm] x\in [/mm] ]1, [mm] \infty[
[/mm]
mit Hilfe eines Iterationsverfahrens bestimme man eine geeignete Iterationsfunktion und ein geeignetes Intervall, so dass die Iterationsvorschrift in diesem Intervall gegen eine Nullstelle konvergiert.
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Hallo,
ich durchstöbere seit dieser Woche einige Übungsaufgaben, die mich im kommenden Semester erwarten (gut möglich, dass ich euch noch mit weiteren Aufgaben belästigen muss  ) und bin dabei auf oben genannte Aufgabe (leider ohne Lösung) gestoßen.
Beim Durchschauen unseres Skripts bin ich auf folgende Iterationsverfahren getroffen: Bisektion, Newton, Fixpunktiteration nach Banach.
Von den drei, sagt mir eigentlich nur das Newtonverfahren was, allerdings scheint mir das für diese Aufgabe zu wenig Aufwand zu sein und ich weiß dabei auch nicht, wie ich damit ein "geeignetes Intervall" finden kann.
Bei Banach blicke ich leider noch überhaupt nicht durch, deshalb tippe ich darauf
Vielleicht könnt ihr mir einen ersten Denkanstoß geben, welches Verfahren hier angewandt werden sollte, woran ich das erkennen kann und wie die ersten Schritte aussehen.
Ich danke schon mal fürs Lesen...
[ Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. ]
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Hallo Sven86,
> Zur Berechnung der Nullstelle(n) der Funktion f(x) = [mm]x^2[/mm] -
> ln x - 2 [mm]x\in[/mm] ]1, [mm]\infty[[/mm]
> mit Hilfe eines Iterationsverfahrens bestimme man eine
> geeignete Iterationsfunktion und ein geeignetes Intervall,
> so dass die Iterationsvorschrift in diesem Intervall gegen
> eine Nullstelle konvergiert.
>
> Hallo,
>
> ich durchstöbere seit dieser Woche einige Übungsaufgaben,
> die mich im kommenden Semester erwarten (gut möglich, dass
> ich euch noch mit weiteren Aufgaben belästigen muss )
> und bin dabei auf oben genannte Aufgabe (leider ohne
> Lösung) gestoßen.
>
> Beim Durchschauen unseres Skripts bin ich auf folgende
> Iterationsverfahren getroffen: Bisektion, Newton,
> Fixpunktiteration nach Banach.
>
> Von den drei, sagt mir eigentlich nur das Newtonverfahren
> was, allerdings scheint mir das für diese Aufgabe zu wenig
> Aufwand zu sein und ich weiß dabei auch nicht, wie ich
> damit ein "geeignetes Intervall" finden kann.
>
> Bei Banach blicke ich leider noch überhaupt nicht durch,
> deshalb tippe ich darauf
Ja, da tippst Du richtig.
Hier kannst Du dann eine Iterationsfunktion aus
[mm]x^{2}-\ln\left(x\right)-2=0[/mm]
bestimmen.
Es bieten sich zwei Iterationsfunktionen an:
Die erstere ergibt sich, wenn Du die Gleichung nach [mm]x^{2}[/mm] auflöst:
[mm]\phi_{1}\left(x\right)=\wurzel{\ln\left(x\right)+2}[/mm]
oder eben [mm]\phi_{2}\left(x\right)[/mm] als Umkehrfunktion von [mm]\phi_{1}\left(x\right)[/mm]
Da da die Iterationsfunktion gegen die Nullstelle konvergieren soll, muß
[mm]\vmat{\phi_{1}\left(x\right)} < 1[/mm]
Ist das nicht erfüllt, dann ist die Umkehrfunktion zu verwenden.
Natürlich muss die vorherige Bedingung in einem bestimmten Intervall erfüllt sein.
Hast Du so eine Iterationsfunktion gefunden,
dann kannst Du mit der Berechnung loslegen.
>
> Vielleicht könnt ihr mir einen ersten Denkanstoß geben,
> welches Verfahren hier angewandt werden sollte, woran ich
> das erkennen kann und wie die ersten Schritte aussehen.
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> Ich danke schon mal fürs Lesen...
>
>
> [ Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. ]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Di 14.09.2010 | | Autor: | Sven86 |
Erstmal danke für die Erklärungen, allerdings kann ich leider noch nicht so wirklich viel damit anfangen, deshalb habt bitte ein bisschen Verständnis für meine Fragen
Warum muss man denn die Gleichung nach [mm] x^{2} [/mm] auflösen?
Ich vermute, es hat damit zu tun, dass man das Nullstellenproblem in ein Fixpunktproblem umwandeln muss, also das x auf die andere Seiten bringen muss?
Bei den paar Beispielen die ich bis jetzt gefunden habe, werden die Intervallgrenzen in die Iterationsfunktion eingesetzt. Bei meiner Aufgabe gibt es bislang ja nur 0 als untere Grenze, wie aber lege ich den oberen Wert fest?
Und für ln(x) darf ich doch keine 0 einsetzen, welchen Wert nehme ich dann?
Wie sind die weiteren Schritte?
1. und 2. Ableitung um eine monotone Funktion zu erkennen
und dann zeigen, dass die Kontraktionskonstante < 0 ist?
Ich danke nochmals!
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Hallo Sven86,
> Erstmal danke für die Erklärungen, allerdings kann ich
> leider noch nicht so wirklich viel damit anfangen, deshalb
> habt bitte ein bisschen Verständnis für meine Fragen
>
> Warum muss man denn die Gleichung nach [mm]x^{2}[/mm] auflösen?
> Ich vermute, es hat damit zu tun, dass man das
> Nullstellenproblem in ein Fixpunktproblem umwandeln muss,
> also das x auf die andere Seiten bringen muss?
Richtig.
>
> Bei den paar Beispielen die ich bis jetzt gefunden habe,
> werden die Intervallgrenzen in die Iterationsfunktion
> eingesetzt. Bei meiner Aufgabe gibt es bislang ja nur 0 als
> untere Grenze, wie aber lege ich den oberen Wert fest?
Schätze die Ableitung der Iterationsfunktion in diesem Intervall ab.
>
> Und für ln(x) darf ich doch keine 0 einsetzen, welchen
> Wert nehme ich dann?
Nehme z.B. als Startwert x=1
> Wie sind die weiteren Schritte?
> 1. und 2. Ableitung um eine monotone Funktion zu erkennen
> und dann zeigen, dass die Kontraktionskonstante < 0 ist?
Wenn der Betrag der Ableitung der Iterationsfunktion im angegebenen
Intervall < 1 ist, dann konvergiert die Iteration gegen den Fixpunkt.
>
> Ich danke nochmals!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Sven86 |
Hmmm...meine Ableitung für [mm]\phi_{1}\left(x\right)=\wurzel{\ln\left(x\right)+2}[/mm] scheint falsch zu sein:
[mm]\bruch 1{2 x\wurzel{\ln\left(x\right)+2}}[/mm]
Die Werte gehen ja immer näher gegen 0 und nicht gegen > 1.
fred97 hat $ [mm] ln(\wurzel{x})+2 [/mm] $ als Funktion angegeben, dafür komme ich dann auf $ [mm] {\bruch {1} {2x}} [/mm] $ was mich ja auch nicht weiter bringt.
Wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mi 15.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hmmm...meine Ableitung für
> [mm]\phi_{1}\left(x\right)=\wurzel{\ln\left(x\right)+2}[/mm] scheint
> falsch zu sein:
>
> [mm]\bruch 1{2 x\wurzel{\ln\left(x\right)+2}}[/mm]
Die Ableitung stimmt !
>
> Die Werte gehen ja immer näher gegen 0 und nicht gegen >
> 1.
>
> fred97 hat [mm]ln(\wurzel{x})+2[/mm] als Funktion angegeben, dafür
> komme ich dann auf [mm]{\bruch {1} {2x}}[/mm] was mich ja auch
> nicht weiter bringt.
Hast Du das Programm , welches ich Dir aufgeschrieben habe, mal in Angriff genommen ???
FRED
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> Wo liegt mein Fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Sven86 |
Ok....
Also wenn ich in die Iterationsfunktion [mm]\phi_{1}\left(x\right)=\wurzel{\ln\left(x\right)+2}[/mm] für x=1 einsetze, bekomme ich einen Wert von 1.414, also im Intervall [1, [mm] \infty).
[/mm]
Setze ich x=1 in die Ableitung erhalte ich einen Wert von 0.353
Soweit richtig?
$0 [mm] \le [/mm] g'(x) [mm] \le [/mm] 1/2$ für jedes x [mm] \in [/mm] A
wieso wird hier [mm] $\le [/mm] 1/2$ verwendet?
Und wie kommt man auf den rechten Intervallwert, um sup zu erhalten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:48 Do 16.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok....
> Also wenn ich in die Iterationsfunktion
> [mm]\phi_{1}\left(x\right)=\wurzel{\ln\left(x\right)+2}[/mm] für
> x=1 einsetze, bekomme ich einen Wert von 1.414, also im
> Intervall [1, [mm]\infty).[/mm]
>
> Setze ich x=1 in die Ableitung erhalte ich einen Wert von
> 0.353
>
> Soweit richtig?
>
> [mm]0 \le g'(x) \le 1/2[/mm] für jedes x [mm]\in[/mm] A
>
> wieso wird hier [mm]\le 1/2[/mm] verwendet?
Oben schreibst Du:
" fred97 hat $ [mm] ln(\wurzel{x})+2 [/mm] $ als Funktion angegeben, dafür komme ich dann auf $ [mm] {\bruch {1} {2x}} [/mm] $"
Es ist $ [mm] {\bruch {1} {2x}} \le [/mm] 1/2 $ für x [mm] \ge [/mm] 1
FRED
>
> Und wie kommt man auf den rechten Intervallwert, um sup zu
> erhalten?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:17 Do 16.09.2010 | | Autor: | Sven86 |
Sorry, aber ich check das immer noch nicht.
Ich versuch mal meine wirren Gedankengänge nieder zuschreiben.
Stimmen denn meine oben angegebenen Werte für {f}und {f'} ?
Damit wäre doch x=1 im Intervall und aufgrund der Ableitung konvergiert die Iteration gegen den Fixpunkt.
In meinem Skript werden für beide Intervallgrenzen x-Werte in die Funktion eingesetzt und überprüft, ob diese Werte dann auch innerhalb der Grenzen liegen.
Die 1. Ableitung ist dann hier positiv und monoton fallend, also setze ich den linken Intervallwert =1 in die 1. Ableitung und erhalte mein max.
Habe aber immer noch keinen rechten Intervallwert.
Dann steht in meinem Skript nichts von 2. Ableitung und es folgt ein a-priori Abschätzung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 18.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Di 14.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich würde es so machen:
Sei A:=[1, [mm] \infty). [/mm] Dann ist A eine abgeschlossene Teilmenge des Banachraumes [mm] \IR.
[/mm]
Weiter sei $g:A [mm] \to \IR$ [/mm] definiert durch $g(x):= [mm] ln(\wurzel{x})+2$
[/mm]
Zeige nun der Reihe nach:
1. $g(A) [mm] \subseteq [/mm] A$
2. $0 [mm] \le [/mm] g'(x) [mm] \le [/mm] 1/2$ für jedes x [mm] \in [/mm] A
3. $|g(x)-g(y)| [mm] \le \bruch{1}{2}|x-y| [/mm] $ für alle x,y [mm] \in [/mm] A
(benutze hierbei 2. und den Mittelwertsatz)
Aus 1. bis 3. folgt, mit dem Banachschen Fixpunktsatz: g hat in A genau einen Fixpunkt [mm] x_0
[/mm]
4. Setze [mm] z_0 [/mm] := [mm] \wurzel{x_0} [/mm] und überzeuge Dich davon, dass [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle Deiner ursprünglichen Funktion f ist.
FRED
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