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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Mi 14.01.2015 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | a) Berechne iteraativ x=1/a für ein gegebens [mm] a\not= [/mm] 0 ohne Division. Für welche Startwerte konverfiert das Verfahren?
b) GEbe ein lokal quadratisch konvergentes Iterationsverfahren zur Berechnung von [mm] x=\wurzel{a} [/mm] für a>0 an. Verwende dabei nur die arithmetischen Grundoperationen. |
hallo zusammen,
ich sitze vor diese Aufgabe und komme irgendwie nicht weiter. ich hoffe ihr könnt mir etwas auf die Sprünge helfen:
zu a) Ich habe da eine funktion aufgestellt für die die NST x=1/a ist:
f(x)=x-1/a
dann habe ich Newton VErfahren darauf angewendet:
f'(x)=-1/a
[mm] x_{k+1}=x_k-\bruch{f(x)}{f'(x)} =x_k-\bruch{x_k-1/a}{-1/a} [/mm] = [mm] x_k(1+a)-1
[/mm]
zu b) habe ich dasselbe gemacht:
[mm] f(x)=x^2-a
[/mm]
f'(x)=2x
[mm] \Rightarrow x_{k+1}=x_k-\bruch{f(x)}{f'(x)}=\bruch{x_k^2+a}{2x_k}
[/mm]
ich stehe total auf dem schlauch und komme nicht weiter.
ich bin für jeden tipp dankbar.
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hellow know how
> a) Berechne iterativ x=1/a für ein gegebenes [mm]a\not=[/mm] 0 ohne
> Division. Für welche Startwerte konvergiert das
> Verfahren?
> zu a) Ich habe da eine Funktion aufgestellt für die die
> NST x=1/a ist:
> f(x)=x-1/a
>
> dann habe ich Newton Verfahren darauf angewendet:
>
> f'(x)=-1/a ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> [mm]x_{k+1}=x_k-\bruch{f(x)}{f'(x)} =x_k-\bruch{x_k-1/a}{-1/a}[/mm]
> = [mm]x_k(1+a)-1[/mm]
Auch bei richtiger Anwendung des Newtonverfahrens, das
dann zwar schon im allerersten Schritt die Lösung liefern
würde, kommt man dabei nicht ohne die Division durch a aus.
Als ein möglicher Weg, der zwar nicht iterativ ist, sondern
auf einer Reihenbildung beruht, fällt mir da die geometrische
Reihe ein:
Falls a = 1 - h ist, gilt
[mm] $\frac{1}{a}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{1-h}\ [/mm] =\ [mm] 1+h+h^2+h^3+\,.....$
[/mm]
(unter einer geeigneten Voraussetzung für den Wert von h, die
dir auch bekannt sein dürfte ...)
> b) Gib ein lokal quadratisch konvergentes
> Iterationsverfahren zur Berechnung von [mm]x=\wurzel{a}[/mm] für
> a>0 an. Verwende dabei nur die arithmetischen
> Grundoperationen.
> [mm]f(x)=x^2-a[/mm]
> f'(x)=2x ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\Rightarrow x_{k+1}=x_k-\bruch{f(x)}{f'(x)}=\bruch{x_k^2+a}{2x_k}[/mm]
Dies könnte man noch auf diese Form bringen:
$\ [mm] x_{k+1}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{2}*\left(x_k+\frac{a}{x_k}\right)$
[/mm]
(Formel von Heron)
Ich denke, dass dann noch das Konvergenzverhalten
diskutiert werden sollte.
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Mi 14.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Zu a) Berechne $a [mm] \cdot [/mm] x$. Wenn das Ergebnis größer als 1 ist, musst Du x verkleinern, wenn das Ergebnis kleiner als 1 ist, musst Du x vergrößern.
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Hallo chrisno
> Zu a) Berechne [mm]a \cdot x[/mm]. Wenn das Ergebnis größer als 1
> ist, musst Du x verkleinern, wenn das Ergebnis kleiner als
> 1 ist, musst Du x vergrößern.
Klar - hätt' ich eigentlich auch drauf kommen können.
Typischer Fall von "Brett vor dem Kopf" ...
Aber: Damit aus der Idee eine brauchbare Iterations-
vorschrift wird, müsste man definieren, wie das mit
dem "x verkleinern" bzw. "x vergrößern" in jedem
konkreten Fall genau gemacht werden soll.
Das Rezept "x halbieren" anstelle von "x verkleinern" geht
zum Beispiel nicht, weil da eine Division involviert wäre !
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Do 15.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Zur konkreten Durchführung der Iteration hatte ich noch nicht nachgedacht. Da trifft dein Einwand zu. Da sehe ich nur noch die langweilige Methode. Ein Epsilon muss für die Abbruchbedingung vorgegeben sein. Also wird Epsilon addiert oder Subtrahiert, bis der Test größer/kleiner umschlägt.
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> a) Berechne iterativ x=1/a für ein gegebens [mm]a\not=[/mm] 0 ohne
> Division. Für welche Startwerte konvergiert das
> Verfahren?
Hallo,
ich habe eine Möglichkeit gefunden: Man wende das
Newton-Verfahren auf die Gleichung $\ f(x)\ =\ 0$ an, wobei
$\ f(x)\ =\ [mm] \frac{1}{x}\,-\,a$
[/mm]
Es zeigt sich erstaunlicherweise, dass man dabei auf
einen Iterationsschritt kommt, dessen Formel nach
Vereinfachung ohne Division auskommt.
Leider bin ich nicht selber darauf gekommen, indem
ich schon googelte, bevor mir diese Idee selber kam.
Beim Googeln nach "Kehrwert ohne Division berechnen"
stieß ich nach kurzer Suche auf ... ja auf was wohl ?
Natürlich auf einen Artikel hier im Matheraum ! 
(Artikel Nummer t276643)
LG , Al-Chwarizmi
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