Itô Integral, Konvergenz < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:44 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Juge |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.mathhelpforum.com/math-help/f8/]
Wie kann ich folgende Konvergenz zeigen?
[m]\lim\limits_{h \to 0} \mathbb{E}[e^{\gamma \sum\limits_{n=1}^{\frac{T}{h}} \log_e(1+\underline\alpha_{(n-1)h}R_n)}] = \mathbb{E}[e^{\gamma(\int\limits_0^T(\hat\mu_s -r) -\frac{1}{2} (\underline\alpha_s)^2\sigma^2 ds + \int\limits_0^T \underline\alpha_s \sigma dW_s)}] [/m]
mit
[m]R_n=e^{(\hat\mu_{(n-1)h} -r-\frac{1}{2}\sigma^2)h+\sigma(W_{nh}-W_{(n-1)h})}-1[/m]
[m]W[/m] ist ein Wiener-Prozess
[m]\hat\mu_{nh}[/m] ist eine Normal-verteilte Zufallsvariable und [m](\hat\mu_t)_{t \in [0,T]}[/m] hat stetige Pfade
[m]\underline\alpha_{nh}[/m] ist eine Zufallsvariable mit Werten in [m][0,1][/m], abhängig von [m]\hat\mu_{nh}[/m] und [m](\underline\alpha_t)_{t \in [0,T]}[/m] hat stetige Pfade
[m]0
[m]\sigma>0[/m] ist eine Konstante
[m]0<\gamma<1[/m] ist eine Konstante
Ich habe mit der Exponential-Reihe begonnen. Danach gilt doch
[m]R_n=(\hat\mu_{(n-1)h} -r-\frac{1}{2}\sigma^2)h+\sigma(W_{nh}-W_{(n-1)h})+\frac{1}{2}((\hat\mu_{(n-1)h} -r-\frac{1}{2}\sigma^2)h+\sigma(W_{nh}-W_{(n-1)h}))^2+...[/m]
und mit der Taylorentwicklung für [m][mm] \log(1+x)[\m] [/mm] gilt
[m]\log_e(1+\underline\alpha_{(n-1)h}R_n)]=\underline\alpha_{(n-1)h}R_n-\frac{1}{2}(\underline\alpha_{(n-1)h}R_n)^2+...[/m]
Aber wie kann ich jeweils die Restglieder abschätzen?
Kann ich denn hier den Erwartungswert und den Limes vertauschen?
ich weiß bereits, dass
[m]\mathbb{E}[e^{\gamma \sum\limits_{n=1}^{\frac{T}{h}} \log_e(1+\underline\alpha_{(n-1)h}R_n)}] \leq \mathbb{E}[e^{\gamma(\int\limits_0^T(\hat\mu_s -r) -\frac{1}{2} (\underline\alpha_s)^2\sigma^2 ds + \int\limits_0^T \underline\alpha_s \sigma dW_s)}], \; \forall h \in (0,1). [/m]
Die folgende Gleichung stimmt nach der Definition des Itô-Integrals. Ist das richtig?
[m]\lim\limits_{h\to 0}\sum\limits_{n=1}^{\frac{T}{h}}\underline\alpha_{(n-1)h} \sigma (W_{nh}-W_{(n-1)h})=\int\limits_0^T \underline\alpha_s \sigma dW_s }[/m] [m]in L_2.[/m]
Leider komme ich auf keine Lösung. Kann mir denn jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 29.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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