Ist dieser Prozess in L^1? < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Di 26.03.2013 | | Autor: | hula |
hallöchen
Wenn ich einen zeitdiskreten reellwertigen Prozess habe [mm] $(S_k)_{k=0,\dots,T}$, [/mm] welcher adaptiert ist zu einer Filtration [mm] $(\mathcal{F}_k)$ [/mm] auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega,\mathal{F}_T,P)$, [/mm] dann definiere ich:
[mm] $\frac{dR}{dP}:=const.e^{-\sum_{i=0}^T|S_k|}$
[/mm]
Wobei $const$ eine Konstante ist, so dass [mm] $E[\frac{dR}{dP}]=1$ [/mm] gilt. Ich konte zeigen, dass [mm] $R\approx [/mm] P$ und [mm] $\frac{dR}{dP}\in L^\infty$. [/mm] Wieso gilt: [mm] $E_R[|S_k|]<\infty$ [/mm] für alle $k$? D.h.:
[mm] $E_R[|S_k|]=E[\frac{dR}{dP}|S_k|]=E[const.e^{-\sum_{i=0}^T|S_k|}|S_k|]\le E[|S_k|]$
[/mm]
Kann ich jetzt sagen, weil wir im zeitdiskreten Fall sind, ist [mm] $S_k$ [/mm] immer beschränkt, daher integrierbar? Oder wieso gilt dies?
Dankeschöööön
hula
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Hiho,
vorweg: Schreib für eine Konstante doch einfach nur C, das ist einfacher zu lesen.
Zu deiner Frage: Mach dir klar, dass [mm] $|x|*e^{-|x|} \le \bruch{1}{e}$ [/mm] gilt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 26.03.2013 | | Autor: | hula |
Hallo Gono
Kannst du mir einen Tipp für die Ungleichung geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Di 26.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Gono
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> Kannst du mir einen Tipp für die Ungleichung geben?
>
>
Du hast:
[mm] |x|\cdot{}e^{-|x|} \le \bruch{1}{e} [/mm]
Forme links mal um zu
[mm] \frac{|x|}{e^{|x|}} \le \bruch{1}{e} [/mm]
Num Multipliziere beide Seiten mit [mm] e^x
[/mm]
Dazu überlege auch mal, warum du hier keine Fallunterscheidund machen musst, das Relationszeichen also beibehalten wird.
Dann bekommst du:
[mm] |x|\le \bruch{e^{|x|}}{e} [/mm]
Nun betrachte mal die Fälle [mm] x\ge0\Leftrightarrow|x|=x [/mm] und [mm] x<0\Leftrightarrow|x|=-x [/mm] gesondert.
Marius
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Hiho,
Marius hat dir einen Weg gezeigt, ein anderer wäre:
Betrachte: $f(x) = [mm] x*e^{-x}$ [/mm] für [mm] $x\ge [/mm] 0$ und mache eine Kurvendiskussion.
Auf sowas kann man aber auch allein kommen 
MFG,
Gono.
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