Ist IK² ein Teilraum des IK³? < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Mo 05.11.2012 | | Autor: | gform |
| Aufgabe | | [mm] \IK^{2} [/mm] ist als Vektorraum offenbar nicht-leer und abgeschlossen sowohl unter Addition als auch unter Multiplikation mit Skalaren. Ist [mm] \IK^{2} [/mm] ein Teilraum des [mm] \IK^{3}? [/mm] |
Meine Vermutung: Nein, da [mm] \IK^{2} [/mm] zwar Teilraum des [mm] \IK^{2}, [/mm] aber kein Teilraum des [mm] \IK^{3} [/mm] ist, da sie nicht Teilmenge des [mm] \IK^{3} [/mm] ist.
Oder weil sie nicht den selben Grad hat?
Was ist der offizielle Grund?
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\IK^{2}[/mm] ist als Vektorraum offenbar nicht-leer und
> abgeschlossen sowohl unter Addition als auch unter
> Multiplikation mit Skalaren. Ist [mm]\IK^{2}[/mm] ein Teilraum des
> [mm]\IK^{3}?[/mm]
> Meine Vermutung: Nein, da [mm]\IK^{2}[/mm] zwar Teilraum des
> [mm]\IK^{2},[/mm] aber kein Teilraum des [mm]\IK^{3}[/mm] ist, da sie nicht
> Teilmenge des [mm]\IK^{3}[/mm] ist.
das ist richtig!
> Oder weil sie nicht den selben Grad hat?
Du meinst die Dimension? Das wäre eine falsche Begründung!
(Etwa im [mm] $\IR^3$ [/mm] kannst Du ja mal einen Unterraum der Dimension [mm] $2\,$ [/mm]
angeben!)
> Was ist der offizielle Grund?
Etwa der obige. Du kannst es auch ein wenig "umständlicher" machen:
In [mm] $\IK^3$ [/mm] ist offenbar [mm] $(0,0,0)\,$ [/mm] das additiv neutrale Element, in
[mm] $\IK^2$ [/mm] ist [mm] $(0,0)\,$ [/mm] das additiv neutrale. Wäre [mm] $\IK^2$ [/mm] ein Unterraum
von [mm] $\IK^3\,,$ [/mm] so müßten dann diese beiden identisch sein (in einem
Vektorraum ist das add. neutr. Element eindeutig!). Man kann damit jede
der beiden Aussagen
$$(0,0) [mm] \in \IK^3$$
[/mm]
oder
$$(0,0,0) [mm] \in \IK^2$$
[/mm]
folgern. Aber eine dieser beiden alleine liefert schon einen Widerspruch!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Mo 05.11.2012 | | Autor: | gform |
Vielen Dank für die hilfreiche Antwort!
> Du kannst es auch ein wenig
> "umständlicher" machen:
> In [mm]\IK^3[/mm] ist offenbar [mm](0,0,0)\,[/mm] das additiv neutrale
> Element, in
> [mm]\IK^2[/mm] ist [mm](0,0)\,[/mm] das additiv neutrale. Wäre [mm]\IK^2[/mm] ein
> Unterraum
> von [mm]\IK^3\,,[/mm] so müßten dann diese beiden identisch sein
> (in einem
> Vektorraum ist das add. neutr. Element eindeutig!). Man
> kann damit jede
> der beiden Aussagen
> [mm](0,0) \in \IK^3[/mm]
> oder
> [mm](0,0,0) \in \IK^2[/mm]
> folgern. Aber eine dieser beiden
> alleine liefert schon einen Widerspruch!
Sehr gut, darauf bin ich nicht gekommen.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Di 06.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die hilfreiche Antwort!
>
> > Du kannst es auch ein wenig
> > "umständlicher" machen:
> > In [mm]\IK^3[/mm] ist offenbar [mm](0,0,0)\,[/mm] das additiv neutrale
> > Element, in
> > [mm]\IK^2[/mm] ist [mm](0,0)\,[/mm] das additiv neutrale. Wäre [mm]\IK^2[/mm] ein
> > Unterraum
> > von [mm]\IK^3\,,[/mm] so müßten dann diese beiden identisch
> sein
> > (in einem
> > Vektorraum ist das add. neutr. Element eindeutig!). Man
> > kann damit jede
> > der beiden Aussagen
> > [mm](0,0) \in \IK^3[/mm]
> > oder
> > [mm](0,0,0) \in \IK^2[/mm]
> > folgern. Aber eine dieser beiden
> > alleine liefert schon einen Widerspruch!
>
> Sehr gut, darauf bin ich nicht gekommen.
das hättest Du auch nicht brauchen - wie gesagt: Es ist ein eigentlich
"umständlicherer" Weg. Es reicht vollkommen aus, zu sagen, dass
[mm] $\IK^2$ [/mm] keine Teilmenge des [mm] $\IK^3$ [/mm] ist.
(Man kann allerdings "den [mm] $\IK^2$ [/mm] isomorph im [mm] $\IK^3$ [/mm] wiederfinden" -
aber das so ja nicht in der Aufgabe gefragt!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Di 06.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\IK^{2}[/mm] ist als Vektorraum offenbar nicht-leer und
> abgeschlossen sowohl unter Addition als auch unter
> Multiplikation mit Skalaren. Ist [mm]\IK^{2}[/mm] ein Teilraum des
> [mm]\IK^{3}?[/mm]
Nein.
Aber [mm] \{(x,y,0): (x,y) \in \IK^2 \} [/mm] ist ein Teilraum von [mm] \IK^3.
[/mm]
FRED
> Meine Vermutung: Nein, da [mm]\IK^{2}[/mm] zwar Teilraum des
> [mm]\IK^{2},[/mm] aber kein Teilraum des [mm]\IK^{3}[/mm] ist, da sie nicht
> Teilmenge des [mm]\IK^{3}[/mm] ist.
> Oder weil sie nicht den selben Grad hat?
> Was ist der offizielle Grund?
>
> Danke.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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