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| Aufgabe | Sei [mm]K[/mm] ein Körper der Charakteristik 2. Sei [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum und [mm](,):VxV\rightarrow K[/mm] eine symmetrische Bilinearform. Sei [mm]v_1,....,v_n[/mm] eine Basis von [mm]V[/mm] mit [mm](v_i,v_j)=\delta_i_j[/mm]. Zeigen Sie:
a) [mm](,)[/mm] ist nicht ausgeartet
b) Die Menge [mm]U=\{ v\in V \left| (v,v) = 0\}[/mm] ist ein linearer Unterraum von [mm]V[/mm] mit [mm]dim(U)=n-1[/mm]. Insbesondere wird also [mm]V[/mm] nicht von isotropen Vektoren erzeugt.
c) Es gilt [mm]dim(U^0)=1[/mm]. Man gebe [mm]U^0[/mm] an.
d) Ist [mm] \left| K \left| = q[/mm], so gibt es für jedes [mm]a \in Q:= \{a^2 \left| a \in K\}[/mm] genau [mm]q^n^-^1[/mm] Vektoren mit [mm](v,v)=a[/mm]. |
Hallo Zusammen!
Ich hänge mal wieder fest, vielleicht kann mit jemand helfen - Also:
zu a) Die Grammatrix der Bilinearform ist ja mit obiger Basis genau die Einheitsmatrix. Die hat vollen Rang also ist die Bilinearform nicht ausgeartet
zu b) Unterraum ist kein Problem, man muß ja nur nachrechnen. Bei der Dimension weiß ich gar nicht weiter, ich dachte eigentlich bei Charakteristik 2 gibt es nur isotrope Vektoren?
zu c) Wenn man b) hat, ergibt sich die Dimension des Orthogonalen Komplements ja aus der Dimensionformel. Na ja, und wenn ich wüsste was der isotrope Kegel genau ist, dann käme ich vielleicht auch auf das Komplement
zu d) Wenn ein Körper Charakteristik 2 hat, dann hat er doch auch nur 2 Elemente, also eine "0" und eine "1", oder? Damit gäbe es ja auch nur zwei Elemente in [mm]Q[/mm]....hilft mir leider nicht weiter.
Vielleicht hat ja jemand eine Idee dazu!
Liebe Grüße
couldbeworse
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen gestellt.
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Hallo nochmal!
ich hab mir das Ganze jetzt mal für [mm]F_2^3[/mm] und [mm]F_2^4[/mm] überlegt...
> zu b) Unterraum ist kein Problem, man muß ja nur
> nachrechnen. Bei der Dimension weiß ich gar nicht weiter,
> ich dachte eigentlich bei Charakteristik 2 gibt es nur
> isotrope Vektoren?
Das ist natürlich Quatsch, es sind ja schon allein die Basisvektoren anisotrop. Isotrop sind ja genau die Vektoren, in denen eine gerade Anzahl von "1"ern vorkommt, also diejenigen, die sich aus einer geraden Anzahl von Basisvektoren zusammensetzen lassen. Wenn man sich die Beispiele anschaut, dann paßt auch die Dimension, da man sich ja z.B. in [mm]F_2^3[/mm] die isotropen Vektoren [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] aus den Vektoren [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] und [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] bauen kann. Also hat U die Dimenson 2 und die Formel paßt, aber wie schriebt man das Allgemein auf?
> zu c) Wenn man b) hat, ergibt sich die Dimension des
> Orthogonalen Komplements ja aus der Dimensionformel. Na ja,
> und wenn ich wüsste was der isotrope Kegel genau ist, dann
> käme ich vielleicht auch auf das Komplement
Das Komplement sind dann genau die Vektoren mit einer ungeraden Anzahl von "1"ern, aber auch hier weiß ich nicht wie ich das formulieren soll.
> zu d) Wenn ein Körper Charakteristik 2 hat, dann hat er
> doch auch nur 2 Elemente, also eine "0" und eine "1", oder?
> Damit gäbe es ja auch nur zwei Elemente in [mm]Q[/mm]....hilft mir
> leider nicht weiter.
Wenn K nur zwei Elemente "0" und "1" hat, dann hat er doch auch nur die Quadrate "0" und "1" und es gibt für [mm]q=2[/mm] Elemente [mm]q^n^-^1[/mm] Vektoren, sodaß (v,v)=0 bzw. (v,v)=1. Das paßt, weil [mm]q^n^-^1 + q^n^-^1=2*q^n^-^1=q^n=[/mm] Anzahl der Vektoren in V. Aber warum?
Liebe Grüße
couldbeworse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 24.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Sei [mm]K[/mm] ein Körper der Charakteristik 2. Sei [mm]V[/mm] ein
> [mm]K[/mm]-Vektorraum und [mm](,):VxV\rightarrow K[/mm] eine symmetrische
> Bilinearform. Sei [mm]v_1,....,v_n[/mm] eine Basis von [mm]V[/mm] mit
> [mm](v_i,v_j)=\delta_i_j[/mm]. Zeigen Sie:
>
> a) [mm](,)[/mm] ist nicht ausgeartet
>
> b) Die Menge [mm]U=\{ v\in V \left| (v,v) = 0\}[/mm] ist ein
> linearer Unterraum von [mm]V[/mm] mit [mm]dim(U)=n-1[/mm]. Insbesondere wird
> also [mm]V[/mm] nicht von isotropen Vektoren erzeugt.
>
> c) Es gilt [mm]dim(U^0)=1[/mm]. Man gebe [mm]U^0[/mm] an.
>
> d) Ist [mm]\left| K \left| = q[/mm], so gibt es für jedes [mm]a \in Q:= \{a^2 \left| a \in K\}[/mm]
> genau [mm]q^n^-^1[/mm] Vektoren mit [mm](v,v)=a[/mm].
> Hallo Zusammen!
>
> Ich hänge mal wieder fest, vielleicht kann mit jemand
> helfen - Also:
>
> zu a) Die Grammatrix der Bilinearform ist ja mit obiger
> Basis genau die Einheitsmatrix. Die hat vollen Rang also
> ist die Bilinearform nicht ausgeartet
>
> zu b) Unterraum ist kein Problem, man muß ja nur
> nachrechnen. Bei der Dimension weiß ich gar nicht weiter,
> ich dachte eigentlich bei Charakteristik 2 gibt es nur
> isotrope Vektoren?
Ich würde hier zeigen, dass die vektoren [mm] v_1+v_2, v_2+v_3, [/mm] ..., [mm] v_{n-1}+v_n [/mm] linear unabhängig sind und in U liegen.
Damit ist dim [mm] U\ge [/mm] n-1. Da [mm] U\ne [/mm] V, folgt dim U=n-1.
>
> zu c) Wenn man b) hat, ergibt sich die Dimension des
> Orthogonalen Komplements ja aus der Dimensionformel. Na ja,
> und wenn ich wüsste was der isotrope Kegel genau ist, dann
> käme ich vielleicht auch auf das Komplement
>
> zu d) Wenn ein Körper Charakteristik 2 hat, dann hat er
> doch auch nur 2 Elemente, also eine "0" und eine "1", oder?
> Damit gäbe es ja auch nur zwei Elemente in [mm]Q[/mm]....hilft mir
> leider nicht weiter.
Zu jedem [mm] n\ge [/mm] 1 gibt es einen Körper mit Charakteristik 2 und [mm] 2^n [/mm] Elementen, siehe z.B. [mm] http://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper
[/mm]
Zur Lösung der Aufgabe würde ich einen allgemeinen vektor [mm] v\in [/mm] V als Linearkombinbation der betrachteten Basisvektoren schreiben und in die Bilinearform einsetzen.
>
> Vielleicht hat ja jemand eine Idee dazu!
>
> Liebe Grüße
> couldbeworse
>
>
> Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen
> gestellt.
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Vielen Dank! a)-c) habe ich jetzt hingekriegt, aber bei d) hapert es noch...es ist für beliebiges [mm]v \in V[/mm] [mm](v,v)=(\sum_{i=1}^{n}\lambda _i v_i,\sum_{i=1}^{n}\lambda _i v_i)=\sum_{i=1}^{n}\lambda _i^2 (v_i,v_i)=\sum_{i=1}^{n}\lambda _i^2[/mm]. Jetzt bräuchte ich wahrscheinlich [mm](\lambda_1^2 +...+ \lambda_n^2)=(\lambda_1 +...+\lambda_n)^2 [/mm], komme aber nicht drauf. Und wie man dann die Anzahl der Vektoren je Quadrat beweist weiß ich leider auch nicht. Vielleicht kann mir noch einmal jemand helfen.
Liebe Grüße
couldbeworse
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> Vielen Dank! a)-c) habe ich jetzt hingekriegt, aber bei d)
> hapert es noch...es ist für beliebiges [mm]v \in V[/mm]
> [mm](v,v)=(\sum_{i=1}^{n}\lambda _i v_i,\sum_{i=1}^{n}\lambda _i v_i)=\sum_{i=1}^{n}\lambda _i^2 (v_i,v_i)=\sum_{i=1}^{n}\lambda _i^2[/mm].
> Jetzt bräuchte ich wahrscheinlich [mm](\lambda_1^2 +...+ \lambda_n^2)=(\lambda_1 +...+\lambda_n)^2 [/mm],
Das ist im Wesentlichen die binomische Formel: Wegen Charakteristik 2 fallen beim Auflösen der Klammer alle gemischten Terme der Form [mm] 2\lambda_i\lambda_j [/mm] weg.
> komme aber nicht drauf. Und wie man dann die Anzahl der
> Vektoren je Quadrat beweist weiß ich leider auch nicht.
Zu [mm] a\in [/mm] Q wähle [mm] b\in [/mm] k mit [mm] b^2=a
[/mm]
jetzt können [mm] $\lambda_1,...,\lambda_{n-1}\in [/mm] k$ beliebig gewählt werden (dafür gibt es [mm] q^{n-1} [/mm] Möglichkeiten). Mit
[mm] $\lambda_n=b-\lambda_1-...-\lambda_{n-1}$ [/mm] ist dann [mm] $(\lambda_1 +...+\lambda_n)^2=b^2=a$ [/mm]
> Vielleicht kann mir noch einmal jemand helfen.
>
> Liebe Grüße
> couldbeworse
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Vielen Dank für Deine Hilfe!
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