Isomorphismus zwischen Körpern < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (K,+,*) ein Körper und B,M,N,P [mm] \in [/mm] K beliebig. Definiert man zwei weitere Verknüpfungen auf K durch:
x +' y:=x+y +B und x *' y := Mxy+N(x+y)+P
zeige:
Falls (K,+',*') ein Körper ist [mm] \Rightarrow [/mm] (K,+',*') [mm] \cong [/mm] (K,+,*) |
Hallo,
Ich weiss nicht so recht, wie ich einen Isomorphismus definieren kann zwischen den beiden Körpern. Gibt es dazu ein Kochrezept?
Ich habe angenommen, K sei ein Körper. Und aus den Körperaxiomen folgt sehr schnell, dass M [mm] \not= [/mm] 0 , [mm] B=NM^{-1} [/mm] und MP=N(N-1)
und daraus sehr schnell, dass 0'=-B und [mm] 1'=M^{-1}-B [/mm] die neutralen Elemente bezüglich multiplikation und Addition sind.
Soweit ich weis muss für ein Isomorphismus gelten:
[mm] \phi [/mm] : (K,+',*') [mm] \rightarrow [/mm] (K,+,*)
[mm] \phi(1')=1 [/mm] und [mm] \phi(0')=0
[/mm]
Nur wie sieht die genaue abbildungsvorschrift aus? kann mir hier jemand einen Tipp geben?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Do 14.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Nur so ne Idee: Dein Körperisomorphismus muss ja zumindest mal ein Isomorphismus der Gruppen (K,+) und (K,+') sein. Also habe ich mal den Ansatz probiert [mm]\Phi(x)=x+\lambda B[/mm] wobei [mm] \lambda [/mm] eine noch zu bestimmendes Element in K ist. Dann kommst du auf die Gleichung [mm] $(\lambda -1)=2\lambda\gdw \lambda=1$. [/mm] Jetzt schau doch mal ob du damit sogar einen Körperisomorphismus hinbekommst...
Gruß, Robert
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Danke für deine Antwort:
ok ich verstehe, dass [mm] \Phi(x):=x+B [/mm] ein Homomorphismus zwischen (K,+') und (K,+) ist wie du sagst.
Aber wieso hilft mir das weiter? das erfüllt doch gar nicht die Homomorphismus Eigenschaften bezüglich multiplikation.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Do 14.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Habe nicht behauptet, dass dir das weiterhilft. War halt ein Versuch, es kann auch sein dass das einfach ne Sackgasse ist. 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 16.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 16.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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