Isomorphismus zw. Restklassen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 So 24.10.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Seine m,n [mm] \in \IN [/mm] teilerfremdn. Zeige, dass die Abbildung
f : [mm] \bruch{\IZ}{mn\IZ} \to \bruch{\IZ}{m\IZ} [/mm] x [mm] \bruch{\IZ}{n\IZ}, [/mm]
[mm] x+mn\IZ \mapsto (x+n\IZ,x+m\IZ) [/mm]
ein Isomorphismus ist. Was gilt wenn m,nnicht teilerfremd sind? |
meine frage dabei bezieht sich zuerst einmal auf das verständnis der Abb.
ist das eine abbildung zwischen restklassen? oder eine abbildung zwischen vertretern aus den einzelnen restklassen?
und wie muss ich die vorschrift verstehen. ist das dann [mm] (x+m)\IZ [/mm] oder seperat?
kommt das x dann damit aus den restklassen von m*n
vielen dank
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Hallo Peon,
ein Element [mm] $x+mn\mathbb{Z}\in \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ [/mm] ist eine Restklasse und
[mm] $f(x+mn\mathbb{Z}) [/mm] = [mm] (x+m\mathbb{Z}, x+n\mathbb{Z}) \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ [/mm] ist ein Tupel von
(anderen) Restklassen. Das Element $x$ ist eine ganze
Zahl. Ein Vertreter einer Restklasse kann jedes
Element der Restklasse sein: Sowohl $x = [mm] x+mn\cdot [/mm] 0$ als
auch [mm] $x+mn\cdot [/mm] 5$ können Vertreter der Restklass [mm] $x+mn\mathbb{Z}$ [/mm] sein.
Es muss also u. a. bewiesen werden, dass $f$ wohldefiniert
ist, d.h. $f(x + [mm] mn\mathbb{Z})$ [/mm] hängt nicht von der Wahl der Vertreters $x$ ab.
Sind damit die Begriffe klarer?
LG mathfunnel
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