Isomorphismus zeigen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mi 09.12.2015 | | Autor: | soulflow |
| Aufgabe | | Sei [mm]V[/mm] ein endlich-dimensionaler K-VR, [mm]B=(b_1,....,b_n)[/mm] eine geordnete Basis von V, [mm]Aut_{K}(V)[/mm] die Automorphismengruppe und [mm]GL_{n}(K)[/mm] die allgemeine lineare Gruppe. Zeige: [mm]Aut_{K}(V) \to GL_{n}(K), f \to M_B^B(f) [/mm] ist wohldefiniert und ein Gruppenisomorphismus |
Hey, komme mit dieser Aufgabe nicht ganz zurecht, obwohl sie mir doch sehr einfach vorkommt.
Die wohldefiniertheitfolgt ja schon, da die Darstellungsmatrix eines Isomorphismus bezüglich einer Basis eindeutig und invertierbar ist. Der Homomorphismus ist auch klar, da für [mm]f,g \in Aut_{K}(V)[/mm] gilt:
[mm] M_B^B(f \circ [/mm] g) = [mm] M_B^B(f) [/mm] * [mm] M_B^B(g) [/mm] (Bereits in der Vorlesung bewiesen)
Aber wie kann ich die bijektivität zeigen? Zerbreche mir schon seit Tagen den Kopf daran.
Bitte nur einen Tipp geben, keine vollständige Lösung!
Vielen Dank für eure Hilfe
LG
|
|
| |
|
Isomorphismen weist man nach, in dem man den inversen Isomorphismus angibt (oder universelle Eigenschaften verwendet).
Dir ist doch sicherlich bekannt, dass die Wahl einer Basis $B$ einen Isomorphismus [mm] $\phi_B\colon K^n\longrightarrow [/mm] V$, [mm] $e_i\longmapsto b_i$ [/mm] von Vektorräumen induziert, [mm] $e_i$ [/mm] ist hierbei der $i$-te Standardbasisvektor.
Der Homomorphismus ist nun einfach gegeben durch
[mm] $\operatorname{Aut}(V)\longrightarrow \operatorname{GL}_n(K)$, $f\longmapsto \phi_B^{-1}\circ f\circ\phi_B$.
[/mm]
Der inverse Homomorphismus ist [mm] $\operatorname{GL}_n(K)\longrightarrow \operatorname{Aut}(V)$, $M\longmapsto \phi_B\circ M\circ \phi_B^{-1}$. [/mm] Dass diese Abbildung tatsächlich invers zur ersten ist, rechnet man unmittelbar nach.
Isomorphismen dieser Art nennt man übrigens Konjugation (mit [mm] $\varphi_B$ [/mm] in diesem Fall) und sie tauchen sehr häufig auf in der Mathematik. Sie beschreiben einen "Wechsel des Blickpunktes", in diesem Fall den Wechsel von der Basis $B$ von $V$ zur Basis $E$ von [mm] $K^n$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mi 09.12.2015 | | Autor: | soulflow |
Ah Super vielen Dank, habe gar nicht daran gedacht, einfach die Umkehrabbildung anzugeben und mich zu sehr darauf konzentriert, die Injektivität und Surjektivität zu zeigen. Ich habe noch eine weitere Frage,
Falls ich einen VR-Isomorphismus [mm]f:V \to W[/mm] und einen UVR [mm] U \subseteq V [/mm] gegeben habe und zeigen möchte, dass dann [mm]dim_{K}f(U) = dim_{K}U[/mm] ist, wäre das leicht zu zeigen, wenn [mm]dim_{K}U < \infty[/mm], aber wie lässt sich das für den unendlich-dimensionalen Fall zeigen, wir haben die Dimensionsformel nämlich nur für den endlich-dimensionalen Fall gezeigt und ich frage mich jetzt, ob die Aufgabe falsch gestellt wurde, oder ich etwas wesentliches übersehe
VG!
|
|
|
| |
|
Falls du [mm] $\dim_KU$ [/mm] definierst als die Anzahl der Elemente einer Basis (dies ist dann halt keine natürliche Zahl mehr, sondern eine Kardinalzahl), ist das leicht: Der Isomorphismus beschränkt sich zu einem Isomorphismus [mm] $U\cong [/mm] f(U)$. Nun prüft man schnell nach, dass das Bild einer Basis unter einem Isomorphismus wieder eine Basis ist. Ich sehe allerdings nicht, was das mit der Aufgabe aus dem Startpost zu tun haben soll.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Do 10.12.2015 | | Autor: | fred97 |
Edit: hier stand Unsinn.
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Fred, ich sehe nicht wie du daraus, dass eine injektive lineare Abbildung von endlichdimensionalen Vektorräumen gleicher Dimension schon bijektiv ist, folgern willst, dass diese Abbildung zwischen unendlichen Gruppen ein Iso ist. Und selbst, wenn das irgendwie ginge: Die Tatsache, dass isomorphe mathematische Objekte isomorphe Automorphismengruppen haben, gilt sowas von allgemein, dass man sich bei einem Beweis wirklich nicht auf den speziellen Spezialfall von endlichdimensionalen Vektorräumen beschränken sollte.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 So 13.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred, ich sehe nicht wie du daraus, dass eine
> injektive lineare Abbildung von endlichdimensionalen
> Vektorräumen gleicher Dimension schon bijektiv ist,
> folgern willst, dass diese Abbildung zwischen unendlichen
> Gruppen ein Iso ist. Und selbst, wenn das irgendwie ginge:
> Die Tatsache, dass isomorphe mathematische Objekte
> isomorphe Automorphismengruppen haben, gilt sowas von
> allgemein, dass man sich bei einem Beweis wirklich nicht
> auf den speziellen Spezialfall von endlichdimensionalen
> Vektorräumen beschränken sollte.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Ja,Du hast recht. Meine obigen Ausführungen waren ein Griff ins Klo
Fred
|
|
|
|
