Isomorphismus, algebr. abg < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mo 15.02.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien K und L Körper, [mm] \phi:K \rightarrow [/mm] L ein Isomorphismus.
Sei [mm] \overline{K} [/mm] ein algebraischer Abschluss von K und [mm] \overline{L} [/mm] ein algebraischer Abschluss von L.
Dann gibt es einen Isomorphismus [mm] \psi: \overline{K} \rightarrow \overline{L}, [/mm] der [mm] \phi [/mm] fortsetzt.
Aus einen vorigen Satz wissen wir schon, dass es einen Homomorphismus [mm] \psi [/mm] : [mm] \overline{K}\rightarrow \overline{L}gibt, [/mm] der [mm] \phi [/mm] fortsetzt.
Aber warum ist [mm] \psi [/mm] ein Isomorphismus?
Im Skiprt steht: [mm] \psi(\overline{K}) [/mm] ist ein algebraisch abgeschlossener Zwischenkörper der algebraischen Körpererweiterung [mm] \overline{L}/L. [/mm] Daher ist [mm] \overline{L}/ \psi(\overline{K}) [/mm] eine algebraische Körpererweiterung. Da algebraische Körpererweiterungen von algebraisch abgeschlossenen Körpern trivial sind folgt [mm] \overline{L}= \psi(\overline{K}) [/mm] |
Hallo,
Frage: Warum ist [mm] \psi(\overline{K}) [/mm] ist ein algebraisch abgeschlossener Zwischenkörper von [mm] \overline{L}/L?
[/mm]
Mein Versuch:
Sei p ein Polynom mit Koeffzienten in [mm] \psi(\overline{K})
[/mm]
p(X)= [mm] \sum_{k=0}^n a_k X^k \in \psi(\overline{K}) [X]\setminus \psi(\overline{K})
[/mm]
Nun suche ich eine Nullstelle in [mm] \psi(\overline{K}) [/mm] für p.
Ich weiß zwar nicht ob [mm] \psi [/mm] eine inverse Funktion aber [mm] \psi^{\*}: \overline{K} \rightarrow \psi(\overline{K}) [/mm] ist isomorph hat also eine inverse Abbildung.
Konkrete Frage ist also: Warum ist das Bild unter einen Isomorphismus eines algebraisch abgeschlossenen Körpers wieder ein algebraisch abgeschlossene Körper?
[mm] p^{\psi^{\*}^{-1}}(X) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n \psi^{-1} (a_k) X^k \in \overline{K}[X]\setminus\overline{K}
[/mm]
Da [mm] \overline{K} [/mm] algebraisch abgeschlossen ist, besitzt das Polynom eine Nullstelle b [mm] \in \overline{K}: p^{\psi^{\*}^{-1}}(b)=0 [/mm] d.h. [mm] \sum_{k=0}^n \psi^{-1} (a_k) b^k=0
[/mm]
Nun stecke ich aber, kann ich die Nulstelle irgendwie zu einer Nullstelle für p abbilden?
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Hallo,
ist [mm] $\varphi\colon A\longrightarrow [/mm] B$ ein Homomorphismus von Ringen, so induziert dieser einen Homomorphismus [mm] $\widetilde{\varphi}\colon A[x]\longrightarrow [/mm] B[x]$. Wenn [mm] $\varphi$ [/mm] ein Isomorphismus ist, dann auch der induzierte Homomorphismus.
Das macht man sich am besten mit der universellen Eigenschaft klar, aber wenn man möchte, kann man auch mit Elementen rechnen.
Ist nun [mm] $a\in [/mm] A$ eine Nullstelle von [mm] $f\in [/mm] A[x]$, so ist [mm] $\varphi(a)$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $\widetilde{\varphi}(f)$.
[/mm]
Mache dir das klar und wende es auf den Fall eines Isomorphismus von einem algebraisch abgeschlossenen Körper nach irgendwo an.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Di 16.02.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich denke durch dich hab ich es jetzt hinbekommen:
Sei [mm] \psi^{\*}: \overline{K} \rightarrow \psi(\overline{K}) [/mm] der Isomorphismus und betrachte den Isomorphismus [mm] \eta: \overline{K}[X] \rightarrow \psi(\overline{K}) [/mm] [X] der [mm] \psi^{\*} [/mm] fortsetzt.
Sei Sei p ein Polynom mit Koeffzienten in $ [mm] \psi(\overline{K}) [/mm] $
p(X)= $ [mm] \sum_{k=0}^n a_k X^k \in \psi(\overline{K}) [X]\setminus \psi(\overline{K}) [/mm] $
[mm] \eta(p(X))= p^{\psi^{*}^{-1}}(X)=\sum_{k=0}^n \psi^{-1} (a_k) X^k \in \overline{K}[X]\setminus\overline{K} [/mm]
Da [mm] \overline{K} [/mm] algebraisch abgeschlossen ist besitzt das Polynom eine Nullstelle b [mm] \in \overline{K}: \eta(p(b))=\sum_{k=0}^n \psi^{-1} (a_k) b^k=0
[/mm]
[mm] \eta^{-1} (p^{\psi^{*}^{-1}}(\psi^{\*} [/mm] (b)))= [mm] (p^{\psi^{*}^{-1}})^{\psi^{\*}} (\psi^{\*} [/mm] (b))= [mm] \sum_{k=0}^n \psi^{\*} (\psi^{\*}^{-1} (a_k))[\psi^{\*} (b)]^k [/mm] = [mm] \psi^{\*}(\sum_{k=0}^n \psi^{-1} (a_k) b^k)= \psi^{\*}(0)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \psi^{\*} [/mm] (b) ist eine Nullstelle von p womit gezeigt ist [mm] \psi(\overline{K}) [/mm] ist algebraisch abgeschlossen.
[mm] \Box
[/mm]
LG,
sissi
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Das sollte so alles stimmen. Mit etwas mehr Worten und etwas weniger Formeln kann man es häufig eleganter und besser verständlich ausdrücken. Meine Bemerkung über Ringe angewandt hier zeigt ja gerade: Jedes nichtkonstante Polynom aus dem Bild von [mm] $\eta$ [/mm] hat eine Nullstelle. Da [mm] $\eta$ [/mm] ein Isomorphismus [mm] $\overline{K}[x]\longrightarrow\psi(\overline{K})[x]$ [/mm] ist, ist also jedes nichtkonstante Polynom auf der rechten Weise von dieser Art, hat also eine Nullstelle.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Di 16.02.2016 | | Autor: | sissile |
danke**
sissi
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