Isomorphiesatz < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich bin schon wieder völlig verzweifelt...
Nun kommt auch noch der Isomorphiesatz, hier verstehe ich einfach gar nix mehr... ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Er heißt:
"Sei $f$ eine lineare Abbildung $V [mm] \to [/mm] V'$. Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus $V/Kern(f) [mm] \cong [/mm] Im(f)$".
Ich sehe keinen Zusammenhang zwischen der Funktion $f:V [mm] \to [/mm] V'$ und $V/Kern(f) [mm] \to^{\sim} [/mm] Im(f)$.
Das einzige, was ich mir ein bisschen erklären kann, ist, dass das $V/Kern(f)$ einfach unser $V/U$ ist, wenn man aus dem Homomorphiesatz $U=Kern(f)$ nimmt.
Aber das wars auch schon...
Als Beweis wird dann das Diagramm aus dem Homomorphiesatz genommen, $V'$ wird einfach durch $Im(f)$ ersetzt, $f$ nennt man nun [mm] $f\tilde$ [/mm] und sagt einfach, das ganze ist eine induzierte lineare Abbildung...
[Was bedeutet hier induziert, ich kenne es eigentlich nur aus physikalischen Zusmmenhängen, heißt es in etwa sowas wie "daraus folgt"?]
Wenn ich nur die Aussage des Satzes hätte, dann könnte ich kein solches Diagramm zeichnen, denn woher weiß ich, dass $V$ auf $V/Kern(f)$ abgebildet wird, und das $V$ auch auf $Im(f)$ abgebildet wird?
Kann mir jemand diesen Satz erklären?
Vielen Dank!
LG, Nadine
P.S.: Soll ich die Diagramme vielleicht mal hochladen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Mi 21.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Der Homomorphiesatz sagt doch im Grunde folgendes: Wenn du eine lineare Abbildung [mm] $f:V\to [/mm] W$ hast, dann gibt es einen eindeutig bestimmte lineare Abbildung [mm] $\hat{f}:V/\ker f\to [/mm] V'$ mit der Eigenschaft [mm] $f=\hat{f}\circ\pi$ [/mm] (wobei [mm] $\pi:V\ni v\mapsto[v]\in V/\ker [/mm] f$ die natürliche Projektion ist). Diese ist dann automatisch injektiv (warum?) und heißt "der von f induzierte lineare Abbildung".
Daraus folgt [mm] $V/\ker f\cong \operatorname{im} [/mm] f$, denn: Setze [mm] $W=\operatorname{im} [/mm] f$ und benutze den obigen Satz für die Einschränkung [mm] $f:V\to [/mm] W$. Wir erhalten eine injektive lineare Abbildung [mm] $\hat{f}:V/\ker f\to [/mm] W$ mit [mm] $f=\hat{f}\circ\pi$. [/mm] Aber f ist surjektiv [mm] ($W=\operatorname{im} [/mm] f$!!!), also auch [mm] $\hat{f}\circ\pi=f$, [/mm] daraus folgt, dass auch [mm] $\hat{f}$ [/mm] surjektiv ist (warum?), also insgesamt sogar bijektiv und damit ist [mm] $\hat{f}$ [/mm] ein Vektorraumisomorphismus zwischen [mm] $V/\ker [/mm] f$ und [mm] $W=\operatorname{im} [/mm] f$.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Robert!
Danke für deine Antwort, auch wenn sie mich grade völlig erschlägt...
> Der Homomorphiesatz sagt doch im Grunde folgendes: Wenn du
> eine lineare Abbildung [mm]f:V\to W[/mm] hast, dann gibt es einen
> eindeutig bestimmte lineare Abbildung [mm]\hat{f}:V/\ker f\to V'[/mm]
> mit der Eigenschaft [mm]f=\hat{f}\circ\pi[/mm] (wobei [mm]\pi:V\ni v\mapsto[v]\in V/\ker f[/mm]
> die natürliche Projektion ist). Diese ist dann automatisch
> injektiv (warum?) und heißt "der von f induzierte lineare
> Abbildung".
Muss [mm] \hat{f} [/mm] nicht nach $W$ abbilden (bzw. $f$ muss von $V$ nach $V'$ gehen)?
Ich weiß jetzt nicht, was eine (natürliche) Projektion ist, aber ich gehe jetzt mal davon aus, dass du mit [mm] \pi [/mm] die gleiche Abbildung meinst, wie bei mir in der Vorlesung.
[mm] \pi [/mm] war bei uns aber immer surjektiv, nicht injektiv. Das könnte ich mir auch eher erklären. Wir bilden ja mit [mm] \pi [/mm] Elemente aus $V$ auf deren Äquivalenzklasse ab. Dabei kann es passieren, dass verschiedene Elemente aus $V$ auf die gleiche Äquivalenzklasse abbildet, nämlich dann, wenn die verschiedenen Elemente in der zur Äquivalenzklasse gehörigen Relation stehen. Ich weiß jetzt grad nicht, ob auch alle Äquivalenzklassen getroffen werden, aber auf jedem Fall widerspricht mein Beispiel schonmal der Injektivität.
> Daraus folgt [mm]V/\ker f\cong \operatorname{im} f[/mm], denn: Setze
> [mm]W=\operatorname{im} f[/mm] und benutze den obigen Satz für die
> Einschränkung [mm]f:V\to W[/mm]. Wir erhalten eine injektive
> lineare Abbildung [mm]\hat{f}:V/\ker f\to W[/mm] mit
> [mm]f=\hat{f}\circ\pi[/mm]. Aber f ist surjektiv
> ([mm]W=\operatorname{im} f[/mm]!!!), also auch [mm]\hat{f}\circ\pi=f[/mm],
> daraus folgt, dass auch [mm]\hat{f}[/mm] surjektiv ist (warum?),
> also insgesamt sogar bijektiv und damit ist [mm]\hat{f}[/mm] ein
> Vektorraumisomorphismus zwischen [mm]V/\ker f[/mm] und
> [mm]W=\operatorname{im} f[/mm].
Danke für die Erklärung. Im Moment habe ich noch große Schwierigkeiten das nachzuvollziehen, weil ich auch den Homomorphiesatz noch nicht so wirklich verstanden habe (dazu habe ich eine seperate Frage gestellt).
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mi 21.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> > Der Homomorphiesatz sagt doch im Grunde folgendes: Wenn du
> > eine lineare Abbildung [mm]f:V\to W[/mm] hast, dann gibt es einen
> > eindeutig bestimmte lineare Abbildung [mm]\hat{f}:V/\ker f\to V'[/mm]
> > mit der Eigenschaft [mm]f=\hat{f}\circ\pi[/mm] (wobei [mm]\pi:V\ni v\mapsto[v]\in V/\ker f[/mm]
> > die natürliche Projektion ist). Diese ist dann automatisch
> > injektiv (warum?) und heißt "der von f induzierte lineare
> > Abbildung".
>
> Muss [mm]\hat{f}[/mm] nicht nach [mm]W[/mm] abbilden?
Richtig, ich hatte mich da verschrieben, werde das gleich korrigieren. Tut mir leid.
>
> Ich weiß jetzt nicht, was eine (natürliche) Projektion
> ist, aber ich gehe jetzt mal davon aus, dass du mit [mm]\pi[/mm] die
> gleiche Abbildung meinst, wie bei mir in der Vorlesung.
Vergiss das mit der "natürlichen Projektion" mal wieder, das ist nur ein Name. Es ist genau die, die ihr auch in der VL definiert habt und die ist surjektiv!
> [mm]\pi[/mm] war bei uns aber immer surjektiv, nicht injektiv. Das
> könnte ich mir auch eher erklären. Wir bilden ja mit [mm]\pi[/mm]
> Elemente aus [mm]V[/mm] auf deren Äquivalenzklasse ab. Dabei kann
> es passieren, dass verschiedene Elemente aus [mm]V[/mm] auf die
> gleiche Äquivalenzklasse abbildet, nämlich dann, wenn die
> verschiedenen Elemente in der zur Äquivalenzklasse
> gehörigen Relation stehen. Ich weiß jetzt grad nicht, ob
> auch alle Äquivalenzklassen getroffen werden, aber auf
> jedem Fall widerspricht mein Beispiel schonmal der
> Injektivität.
Es ist alles richtig was du sagst. Das mit der Injektivität bezog sich bei mir aber auf [mm] $\hat{f}$!
[/mm]
> > Daraus folgt [mm]V/\ker f\cong \operatorname{im} f[/mm], denn: Setze
> > [mm]W=\operatorname{im} f[/mm] und benutze den obigen Satz für die
> > Einschränkung [mm]f:V\to W[/mm]. Wir erhalten eine injektive
> > lineare Abbildung [mm]\hat{f}:V/\ker f\to W[/mm] mit
> > [mm]f=\hat{f}\circ\pi[/mm]. Aber f ist surjektiv
> > ([mm]W=\operatorname{im} f[/mm]!!!), also auch [mm]\hat{f}\circ\pi=f[/mm],
> > daraus folgt, dass auch [mm]\hat{f}[/mm] surjektiv ist (warum?),
> > also insgesamt sogar bijektiv und damit ist [mm]\hat{f}[/mm] ein
> > Vektorraumisomorphismus zwischen [mm]V/\ker f[/mm] und
> > [mm]W=\operatorname{im} f[/mm].
>
> Danke für die Erklärung. Im Moment habe ich noch große
> Schwierigkeiten das nachzuvollziehen, weil ich auch den
> Homomorphiesatz noch nicht so wirklich verstanden habe
> (dazu habe ich eine seperate Frage gestellt).
Ich habe den am Anfang auch nicht verstanden.
Gruß, Robert
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