Isomorphie zur Symmetriegruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:06 Do 07.12.2006 | | Autor: | Methos |
| Aufgabe | | Eine Gruppe G sei gegeben durch zwei Erzeugende x und y und drei Relationen: [mm]x^{2}=1[/mm] und [mm]y^{2}=1[/mm] und [mm](xy)^{n}=1[/mm]. Zeigen Sie, dass G isomorph ist zur Symmetriegruppe des regelmäßigen n-Ecks (n [mm]\ge[/mm] 3). |
Hi, ich stehe vor obigem Problem. Hatte so einen Aufgabentypus überhaupt noch nicht. Mein konkretes Problem ist, dass ich nicht weiß, wie man Isomorphie nachweist.
Also, ich meine, ich hab je die Eigenschaften von dieser Gruppe G oben gegeben und die Eigenschaften der Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks: Die sind Spiegelung an einer Geraden g durch O und Drehung um O mit einem Winkel [mm]\alpha[/mm], wobei O der Schwerpunkt des n-Ecks.
Und nun? Weiter komm ich eben nicht. Was kann ich dann damit anfangen, sodass ich Isomorphie nachweisen kann?
Danke schonmal im Voraus für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
Methos
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Fr 08.12.2006 | | Autor: | otto.euler |
Wenn ich das richtig sehe, kannst für x die Spiegelung nehmen und für xy die Drehung um 360°/n = [mm] \alpha. [/mm] Das hieße, dass y eine Spiegelachse ist, die [mm] \bruch{\alpha}{2} [/mm] von x abweicht. Damit wäre die Isomorphie gezeigt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 18:49 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Methos |
Bedeutet das, dass ich sagen muss:
x bedeutet bei der Symmetriegruppe ...
y bedeutet bei der Symmetriegruppe ...
fertig?
Das ist schon alles, um Isomorphie zu zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Fabbi |
Hi
Zwei Graphen sind isomorph, wenn man den einen durch Umzeichnen des anderen erhalten kann.
Die Definition:
Seien [mm] G_{1} [/mm] und [mm] G_{2} [/mm] zwie Graphen. Entspricht jeder Ecke von [mm] G_{1} [/mm] einer Ecke von [mm] G_{2} [/mm] und sind zwei Ecken von [mm] G_{2} [/mm] genau verbunden, wenn die entsprechenden Ecken von [mm] G_{1} [/mm] verbunden sind, wobei auch die Anzahl der Kanten übereinstimmen muss, so heißen die Graphen isomorph.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Liebe Grüße Fabbi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Methos |
Meinst du mit Graphen Gruppen???
Und was heißt Ecken?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Fabbi |
Nein, ein Graph ist ein Punkt.
Mit Ecke meine ich die Ecke des Graphen.
Ich habe hier noch die mathematisch exakte Definition der Isomorphie:
Zwei Graphen [mm] G_{1} (E_{1}, K_{1}) [/mm] und [mm] G_{2} (E_{2}, K_{2}) [/mm] heißen isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung [mm] \phi: E_{1}\to E_{2} [/mm] und eine bijektive Abbildung [mm] \psi: K_{1}\to K_{2} [/mm] gibt, die die folgenden Eigenschaft hat: Wenn k [mm] \in [/mm] K eine Kante zwischen den Ecken A und B von [mm] G_{1} [/mm] ist, gilt: [mm] \psi(k) [/mm] ist eine Kante zwischen den Ecken [mm] \phi(A) [/mm] und [mm] \phi(B). [/mm]
Jetzt klar? mfg Fabbi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 22:55 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Methos |
Was mir noch nicht ganz klar ist, warum du eine Isomorphie von Graphen angibst... kann ich das 1:1 umsetzen für Gruppen???
was wäre denn dann eine Ecke im Falle der Symmetriegruppe bzw. bei x und y???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 So 10.12.2006 | | Autor: | otto.euler |
Ja, im Prinzip sehe ich das so. Du hast ja die erzeugenden Elemente deiner Gruppe und die entsprechenden Relationen. Diese bildest du bijektiv und homomorph auf die Spiegelungen ab. Dann brauchst du eigentlich nur noch zu zeigen, dass die Spiegelungen [mm] S_n [/mm] erzeugen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Di 12.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
