Isomorphie zeigen,Faktorgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Di 02.02.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien [mm] m_1,..,m_k \in \mathbb{Z}_{>0}.
[/mm]
Zeigen Sie [mm] m_1*...*m_i \mathbb{Z} [/mm] / [mm] m_1*..*m_{i+1} \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/m_{i+1} \mathbb{Z} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] i < k |
Die Frage ist bei der Nachhilfe aufgetaucht, diese konnte ich aber nicht total sauber eklären..
[mm] \mathbb{Z}/m_{i+1} \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_{m_{i+1}} [/mm] mittels Homomorphiesatz angewandt auf [mm] \phi:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{m_{i+1}} [/mm] mittels [mm] \phi(x)= \overline{x}
[/mm]
[mm] |m_1*...*m_i \mathbb{Z} [/mm] / [mm] m_1*..*m_{i+1}\mathbb{Z}|= m_{i+1}
[/mm]
Hier konnte ich nicht sauber erklären warum das so ist:
[mm] m_1...m_i \mathbb{Z} [/mm] / [mm] m_1..m_{i+1} \mathbb{Z}=\{ a + m_1..m_{i+1} \mathbb{Z} | a \in m_1...m_i \mathbb{Z}\}=\{m_1..m_i + m_1..m_{i+1} \mathbb{Z}, m_1..m_i*2 + m_1...m_{i+1} \mathbb{Z},....,, m_1..m_i*m_{i+1} + m_1...m_{i+1} \mathbb{Z}\}
[/mm]
Kann man das eleganter/sauberer beweisen? Zeigt man das eher mittel einer Abbildung [mm] \phi: m_1*...*m_i \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{m_{i+1}}?
[/mm]
Wäre das geklärt:
[mm] m_1*...*m_i \mathbb{Z} [/mm] / [mm] m_1*..*m_{i+1}\mathbb{Z} [/mm] ist als Untergruppe der zyklischen Gruppe [mm] \mathbb{Z} [/mm] ebenfalls zyklisch also folgt [mm] m_1*...*m_i \mathbb{Z} [/mm] / [mm] m_1*..*m_{i+1}\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_{m_{i+1}}
[/mm]
Aus der Transitivität der Isomorphie folgt die Behauptung.
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Wir sind uns wohl einig, dass [mm] $m\IZ/mn\IZ\cong \IZ/n\IZ$ [/mm] das ist, was wir haben wollen, falls [mm] $m\not=0$. [/mm] Man hat einen surjektiven Homomorphismus [mm] $\IZ\longrightarrow m\IZ\longrightarrow m\IZ/mn\IZ$, $x\longmapsto mx\longmapsto\overline{mx}$. [/mm] Es liegt [mm] $x\in\ker\iff mn\mid mx\iff n\mid x\iff x\in n\IZ$. [/mm] Aus dem Homomorphiesatz folgt alles.
Liebe Grüße,
KidinK
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Mi 03.02.2016 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank!
Alles wieder klar.
Liebe Grüße,
Sissi
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