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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:30 Di 02.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Sei $V$ ein $K$-VR, [mm] $\dim V<\infty$ [/mm] und [mm] $\iota:V\ni v\mapsto(V^\star\ni\alpha\mapsto\alpha(v)\in K)\in V^{\star\star}$ [/mm] der kanonische Isomorphismus von $V$ auf [mm] $V^{\star\star}$. [/mm]
Dass es ein Isomorphismus ist, hab ich so bewiesen (Linearität setz ich mal voraus):
Sei [mm] $\{b_i\}$ [/mm] eine Basis von V und [mm] $\{b_i^\star\}$ [/mm] bzw [mm] $\{b_i^{\star\star}\}$ [/mm] die zugeordneten dualen Basen, so ist [mm] $\iota(b_i)(b_j^\star)=b_j^\star(b_i)=\delta_{ij}=b_i^{\star\star}(b_j^\star)$, [/mm] also [mm] $\iota(b_i)=b_i^{\star\star}$. [/mm]
(ist das so korrekt?)
Ich frage mich nur, wie die Umkehrabbildung [mm] $\iota^{-1}$ [/mm] aussieht. Man kann sie zwar ohne weiteres z.B. so hinschreiben: [mm] $$\iota^{-1}:V^{\star\star}\ni(V^\star\ni\alpha\mapsto\alpha(v)\in K)\mapsto v\in [/mm] V$$aber ich hätte es gern irgendwie expliziter, d.h. wie bekomme ich aus einem beliebigen Element [mm] $\hat{\alpha}\in V^{\star\star}$ [/mm] denjenigen Vektor [mm]v\in V[/mm], sodass [mm]\iota(v)=\hat{\alpha}[/mm]? Außerdem hätte ich gern, dass diese Definition der Umkehrfunktion unabhängig von der gewählten Basis ist, genau wie es bei der Definition von [mm] $\iota$ [/mm] ja der Fall ist.
Weiß da jemand weiter?
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Di 02.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm]-VR, [mm]\dim V<\infty[/mm] und [mm]\iota:V\ni v\mapsto(V^\star\ni\alpha\mapsto\alpha(v)\in K)\in V^{\star\star}[/mm]
> der kanonische Isomorphismus von [mm]V[/mm] auf [mm]V^{\star\star}[/mm].
>
> Dass es ein Isomorphismus ist, hab ich so bewiesen
> (Linearität setz ich mal voraus):
> Sei [mm]\{b_i\}[/mm] eine Basis von V und [mm]\{b_i^\star\}[/mm] bzw
> [mm]\{b_i^{\star\star}\}[/mm] die zugeordneten dualen Basen, so ist
> [mm]\iota(b_i)(b_j^\star)=b_j^\star(b_i)=\delta_{ij}=b_i^{\star\star}(b_j^\star)[/mm],
> also [mm]\iota(b_i)=b_i^{\star\star}[/mm].
> (ist das so korrekt?)
Ja.
> Ich frage mich nur, wie die Umkehrabbildung [mm]$\iota^{-1}$[/mm]
> aussieht. Man kann sie zwar ohne weiteres z.B. so
> hinschreiben:
> [mm]\iota^{-1}:V^{\star\star}\ni(V^\star\ni\alpha\mapsto\alpha(v)\in K)\mapsto v\in V[/mm]aber
> ich hätte es gern irgendwie expliziter, d.h. wie bekomme
> ich aus einem beliebigen Element [mm]$\hat{\alpha}\in V^{\star\star}$[/mm]
> denjenigen Vektor [mm]v\in V[/mm], sodass [mm]\iota(v)=\hat{\alpha}[/mm]?
Das geht ueber die Basen: wenn du ein Element $f [mm] \in V^{\star\star}$ [/mm] hast, dann kannst du es in den [mm] $b_j^\star$ [/mm] auswerten und dies als Koeffizienten fuer die [mm] $b_j$ [/mm] verwenden: [mm] $\iota^{-1}(f) [/mm] = [mm] \sum_j f(b_j^*) b_j$. [/mm] Wenn du die [mm] $b_i^{\star\star}$ [/mm] einsetzt, siehst du: [mm] $\sum_j b_i^{\star\star}(b_j^*) b_j [/mm] = [mm] \sum_j \delta_{ij} b_j [/mm] = [mm] b_i$.
[/mm]
> Außerdem hätte ich gern, dass diese Definition der
> Umkehrfunktion unabhängig von der gewählten Basis ist,
> genau wie es bei der Definition von [mm]\iota[/mm] ja der Fall ist.
Das geht soweit ich weiss nicht; ansonsten gaebe es naemlich auch keinen Grund, warum diese Definition nicht auch fuer unendlichdimensionale Vektorraeume $V$ gelten sollte; dort ist [mm] $\iota$ [/mm] allerdings nur ein Monomorphismus und i.A. kein Isomorphismus!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Di 02.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> > Außerdem hätte ich gern, dass diese Definition der
> > Umkehrfunktion unabhängig von der gewählten Basis ist,
> > genau wie es bei der Definition von [mm]\iota[/mm] ja der Fall ist.
>
> Das geht soweit ich weiss nicht; ansonsten gaebe es
> naemlich auch keinen Grund, warum diese Definition nicht
> auch fuer unendlichdimensionale Vektorraeume [mm]V[/mm] gelten
> sollte; dort ist [mm]\iota[/mm] allerdings nur ein Monomorphismus
> und i.A. kein Isomorphismus!
D.h. man hat immer die kanonische Abbildung [mm] $\iota$, [/mm] aber die Umkehrabbildung ist i.A. nicht kanonisch... faszinierend 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Di 02.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > > Außerdem hätte ich gern, dass diese Definition der
> > > Umkehrfunktion unabhängig von der gewählten Basis ist,
> > > genau wie es bei der Definition von [mm]\iota[/mm] ja der Fall ist.
> >
> > Das geht soweit ich weiss nicht; ansonsten gaebe es
> > naemlich auch keinen Grund, warum diese Definition nicht
> > auch fuer unendlichdimensionale Vektorraeume [mm]V[/mm] gelten
> > sollte; dort ist [mm]\iota[/mm] allerdings nur ein Monomorphismus
> > und i.A. kein Isomorphismus!
>
> D.h. man hat immer die kanonische Abbildung [mm]\iota[/mm], aber die
> Umkehrabbildung ist i.A. nicht kanonisch... faszinierend
>
Nunja, man kann sie natuerlich auf's Bild einschraenken, und dann ist die Umkehrabbildung schon irgendwie kanonisch -- man kann sie halt nur nicht in expliziter Form hinschreiben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Do 04.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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