Isomorphie von Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 So 21.06.2009 | | Autor: | Becky87d |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Gruppe [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] nicht isomorph zu [mm] \IZ [/mm] ist. |
Hallo!
Ich habe leider bisher keinen weiterführenden Ansatz gefunden, um diese Aufgabe zu lösen.
Zunächst hatte ich versucht zu zeigen, dass die Gruppen nicht gleichmächtig sind, um dann daraus abzuleiten, dass es keine Bijektion zwischen den Gruppen geben kann..und damit auch keinen Isomorphismus.
Allerdings sind die beiden Gruppen, falls ich das richtig sehe beide abzählbar unendlich und damit gleichmächtig.
Kann mir jemand einen Tipp geben, welchen Ansatz ich stattdessen verfolgen sollte?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 So 21.06.2009 | | Autor: | statler |
> Zeigen Sie, dass die Gruppe [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] nicht isomorph zu [mm]\IZ[/mm]
> ist.
> Hallo!
>
> Ich habe leider bisher keinen weiterführenden Ansatz
> gefunden, um diese Aufgabe zu lösen.
> Zunächst hatte ich versucht zu zeigen, dass die Gruppen
> nicht gleichmächtig sind, um dann daraus abzuleiten, dass
> es keine Bijektion zwischen den Gruppen geben kann..und
> damit auch keinen Isomorphismus.
> Allerdings sind die beiden Gruppen, falls ich das richtig
> sehe beide abzählbar unendlich und damit gleichmächtig.
Das siehst du völlig richtig.
> Kann mir jemand einen Tipp geben, welchen Ansatz ich
> stattdessen verfolgen sollte?
[mm] \IZ [/mm] ist zyklisch und wird z. B. von 1 erzeugt. Kann es ein Bild von 1 geben, das [mm] \IZ \times \IZ [/mm] erzeugt?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 So 21.06.2009 | | Autor: | Becky87d |
Nein [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] ist nicht zyklisch, daher wäre es nicht möglich, dass es ein Bild von 1 gibt, welches diese Gruppe erzeugt. Allerding verstehe ich nicht, wieso es genau dieses Bild sein müsste, welches die Gruppe erzeugt?
Wenn ich diesen Ansatz verfolge, weiß ich nicht genau, wie ich beweisen könnte, dass eine nicht-zyklische Gruppe niemals isomorph zu einer zyklischen sein kann...(Ich gehe mal davon aus, dass dem so ist.)
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Hiho,
> Allerding verstehe ich nicht, wieso es genau
> dieses Bild sein müsste, welches die Gruppe erzeugt?
wenn es einen Isomorphismus gäbe, würde es zu jedem Element ein "Urbild" geben, so dass f angewendet darauf dein Element wäre.
Allerdings wird das Urbild nun von 1 erzeugt, anwendung der Homomorphismus-Regeln ergibt dir eine Darstellung durch f(1).
MfG,
Gono.
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