Isomorphie von Gruppen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Do 22.11.2007 | | Autor: | Kay88 |
hallo, ich habe eine Fage zu folgender Aufgabe:
Es seien [mm] ($\IZ_2$,[/mm] [mm] \* [/mm]) und [mm] ($\IZ_3$,[/mm] [mm] \*[/mm]) die zyklischen Gruppen mit 2 bzw. 3 Elementen. Auf der Menge [mm] $\IZ_2$ [/mm] x [mm] $\IZ_3$ [/mm] =[mm]\{(a,b)| a \varepsilon $\IZ_2$, b \varepsilon $\IZ_3$\}[/mm] sei eine Multiplikation wie folgt defieniert:
(a,b) o (c,d):= (a[mm] \* [/mm]c, b[mm] \* [/mm]d). Dabei sei [mm] \* [/mm] die Muliplikation in den jeweiligen Gruppen.
Zeigen Sie, dass die Gruppe [mm] $\IZ_2$ [/mm] x [mm] $\IZ_3$ [/mm] isomorph zu [mm] $\IZ_6$ [/mm] ist!
Ich habe versucht, [mm] $\IZ_2$ [/mm] x [mm] $\IZ_3$ [/mm] über eine Tabelle darzustellen, dasselbe für die Addition von [mm] $\IZ_6$, [/mm] um so die Umordnung vorzunehmen, konnte aber durch dieses Verfahren keine bijektive Abbildung zwischen [mm] $\IZ_2$ [/mm] x [mm] $\IZ_3$ [/mm] und [mm] $\IZ_6$ [/mm] finden. Hat jemand vielleicht einen Tipp für mich, wie ich das hinbekomme? Vielen Dank im Voraus...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Es seien ([mm]\IZ_2[/mm],[mm] \* [/mm]) und ([mm]\IZ_3[/mm],[mm] \*[/mm]) die zyklischen
> Gruppen mit 2 bzw. 3 Elementen. Auf der Menge [mm]\IZ_2[/mm] x [mm]\IZ_3[/mm]
> =[mm]\{(a,b)| a \varepsilon $\IZ_2$, b \varepsilon $\IZ_3$\}[/mm]
> sei eine Multiplikation wie folgt defieniert:
> (a,b) o (c,d):= (a[mm] \* [/mm]c, b[mm] \* [/mm]d). Dabei sei [mm]\*[/mm] die
> Muliplikation in den jeweiligen Gruppen.
> Zeigen Sie, dass die Gruppe [mm]\IZ_2[/mm] x [mm]\IZ_3[/mm] isomorph zu
> [mm]\IZ_6[/mm] ist!
>
> Ich habe versucht, [mm]\IZ_2[/mm] x [mm]\IZ_3[/mm] über eine Tabelle
> darzustellen, dasselbe für die Addition von [mm]\IZ_6[/mm], um so
> die Umordnung vorzunehmen, konnte aber durch dieses
> Verfahren keine bijektive Abbildung zwischen [mm]\IZ_2[/mm] x [mm]\IZ_3[/mm]
> und [mm]\IZ_6[/mm] finden. Hat jemand vielleicht einen Tipp für
> mich, wie ich das hinbekomme?
Hallo,
such in [mm] \IZ_2[/mm] [/mm] x [mm]\IZ_3[/mm] mal ein Element der Ordnung 6, das muß es ja geben, wenn die Gruppe zyklisch ist.
Def. Dir einen Gruppenhomomorphismus, welcher dieses Element auf das erzeugende v. [mm] \IZ_6 [/mm] abbildet, und zeige, daß die Abbildung bijektiv ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Fr 23.11.2007 | | Autor: | Kay88 |
[mm] Also,$\IZ_6$ [/mm] wäre ja das Erzeugnis von z.B. 1. Was bedeutet aber das Element 6. Ordnung, das sagt mir nichts. Ich kann mir aber vorstellen, dass wenn dieses Element bekannt ist, sich eine Bijektion zum erzeugenden Element von [mm] $\IZ_6$ [/mm] bilden lässt. Was bedeutet also Element 6. Ordnung von [mm] $\IZ_2$ [/mm] x [mm] $\IZ_3$? [/mm] Kay
|
|
|
| |
|
> Was bedeutet also Element 6. Ordnung von
> [mm]\IZ_2[/mm] x [mm]\IZ_3[/mm]?
Hallo,
daß diese Element "hoch 6", also 6 mal mit sich selbst multipliziert, das neutrale ergibt, und daß alle Potenzen unter 6 nicht das neutrale sind.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:17 Fr 23.11.2007 | | Autor: | Kay88 |
Könnte ich also ein Element (a,b) [mm]\varepsilon[/mm] [mm] $\IZ_2$ [/mm] x [mm] $\IZ_3$ [/mm] mit a=(1+n) [mm]\varepsilon[/mm] [mm] $\IZ_2$ [/mm] und ein b=(2+n) [mm]\varepsilon[/mm] [mm] $\IZ_3$ [/mm] mit n= 0..5 [mm] ($\IZ_6$) [/mm] konstruieren? Dann wäre diese Abbildung bijektiv.
|
|
|
| |
|
> Könnte ich also ein Element (a,b) [mm]\varepsilon[/mm] [mm]\IZ_2[/mm] x [mm]\IZ_3[/mm]
> mit a=(1+n) [mm]\varepsilon[/mm] [mm]\IZ_2[/mm] und ein b=(2+n) [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\IZ_3[/mm] mit n= 0..5 ([mm]\IZ_6[/mm]) konstruieren? Dann wäre diese
> Abbildung bijektiv.
Hallo,
ich kapiere nicht, was Du meinst, aber mir schwant gerade etwas...
Kannst Du die beiden Gruppen ($ [mm] \IZ_2 [/mm] $,$ * $) und ($ [mm] \IZ_3 [/mm] $,$ * $) mal aufschreiben?
Am besten mit ihrer Verknüpfungstafel.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Fr 23.11.2007 | | Autor: | Kay88 |
Alles klar, mach ich:
[mm] $\IZ_2$:
[/mm]
[mm]\*[/mm] 0 1
0 0 0
1 0 1
[mm] $\IZ_3$:
[/mm]
[mm]\*[/mm] 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:09 Sa 24.11.2007 | | Autor: | komduck |
sorry ich habe nicht gesehen, dass es schon Anworten gab....
Die Tafeln die du aufgeschrieben hast sind keine Gruppen. Es sind die
Tafeln der Multiplikation der Ringe [mm] Z_{2} [/mm] und [mm] Z_{3}. [/mm] Wenn man die Null wegläßt, dann erhält man Gruppen. Gemeint sind die Tafeln die entstehen, wenn man die Addition nimmt. Laß dich nicht verwirren, wenn man die Operation trotzdem Multiplikation nennt.
komduck
|
|
|
| |
|
Hallo,
komduck hat Dir ja schon gesagt, daß Deine Tafeln keine Gruppentafeln sind.
Du hast die Verknüpfungstafeln für [mm] \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ [/mm] und [mm] \IZ [/mm] / [mm] 3\IZ [/mm] für die Multiplikation in diesen Mengen aufgestellt, damit sind die beiden Mengen aber keine Gruppen. (Wenn Du jeweils die Null herausnimmst, hast Du hier Gruppen.)
In der Aufgabe stand aber folgendes:
" Es seien ($ [mm] \IZ_2 [/mm] $,$ * $) und ($ [mm] \IZ_3 [/mm] $,$ * $) die zyklischen Gruppen mit 2 bzw. 3 Elementen. [...] Dabei sei $ * $ die Muliplikation in den jeweiligen Gruppen. "
[mm] \IZ_3 [/mm] steht für "zyklische Gruppe mit drei Elementen".
Eine zyklische Gruppe mit drei Elementen ist z.B. [mm] (\IZ [/mm] / [mm] 3\IZ, [/mm] +), also Deine Menge mit der Addition.
Hier ist es allerdings, da lt. Aufgabenstellung [mm] \* [/mm] eine "Multiplikation" sein soll, besser, einfacher und übersichtlicher, sich eine multiplikative zyklische Gruppe zu nehmen.
Was ist das Wesen der zyklischen Gruppe? Sie hat genau ein erzeugendes Element. Nennen wir es einfach b.
Dann hast Du mit [mm] (\{e_3, b, b^2\},\*) [/mm] Deine multiplikative Gruppe mit drei Elementen.
Nun brauchst Du noch eine zyklische multiplikative Gruppe der Ordnung 2, und dann wirst Du die Aufgabe ordentlich bearbeiten können.
Tut mir leid, daß ich nicht gleich gemerkt habe, an welcher Stelle das Problem liegt - es ist überhaupt kein ungewöhnliches.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kay88 |
Benötige ich dann für [mm] $\IZ_6$ [/mm] auch so eine Gruppe?
|
|
|
| |
|
> Benötige ich dann für [mm]\IZ_6[/mm] auch so eine Gruppe?
[mm] \IZ_6 [/mm] heißt nichts anderes als zyklische Gruppe der Ordnung 6, Du kannst [mm] (\IZ [/mm] / [mm] 6\IZ, [/mm] +) nehmen, wenn Du willst.
Oder Du machst Dir eine multiplikative Gruppe der Ordnung 6.
Gruß v. Angela
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Sa 24.11.2007 | | Autor: | komduck |
Suche in [mm] Z_{2} \times Z_{3} [/mm] ein Element der Ordnung 6 dieses bildest du auf das erzeugende Element von [mm] Z_{6} [/mm] ab. Dann ordnest du die Potenzen der Elemente entsprechend zu.
komduck
|
|
|
|
