Isomorphie in Vektorräumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Di 20.12.2005 | | Autor: | Burdy |
| Aufgabe 1 | | Es soll bewiesen werden mit V,W Vektorräume über K das dim(V)=dim(W) [mm] \gdw [/mm] V [mm] \cong [/mm] W |
| Aufgabe 2 | Es soll gezeigt werden [mm] \lambda [/mm] surjektiv [mm] \gdw \lambda [/mm] injektiv
mit [mm] dim(V)=dim(W)=n<\infty [/mm] und der linearen Abbildung [mm] \lambda: [/mm] V -> W |
Hallo
Ich soll diese Aufgaben bis morgen lösen, nur leider bin ich mir nicht ganz sicher was ich als Ansatz nehmen soll.
Für die erste Aufgabe habe ich mir schon überlegt, das ich V [mm] \cong [/mm] W => dim(V)=dim(W) beweisen kann, indem ich einmal aus V [mm] \cong [/mm] W folgere, das [mm] \lambda [/mm] als Isomorphismus existiert und dann schließen kann das daraus dim(Bild( [mm] \lambda) \le [/mm] dim(V)=n und dim(Bild( [mm] \lambda^{[-1]}) \le [/mm] dim(W)=n, also dim(W)=dim(V).
Doch wie ich die Umkehrrichtung zeigen kann bin ich mir nicht sicher und wie ich dann die 2. Aufgabe lösen soll weiß ich auch nicht so recht. Wäre super wenn mir jemand einen Ansatz dafür geben könnte wie ich das am besten mache.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Lars,
ueberleg Dir doch allgemein solche Dinge wie:
- eine lin. Abb. [mm] \lambda [/mm] bildet eine Basis auf ein Erzeugendensystem des Bildes ab.
- Wenn [mm] \lambda [/mm] injektiv ist, ist das Bild einer Basis eine Basis des Bildes.
- Wenn dim W = n und aus irgendeinem Grund bekannt ist (zB Punkt 1), dass eine Menge
von n Vektoren Erzeugendensystem diese Raumes W ist, so bilden diese Vektoren eine
Basis.
Damit solltest Du weiterkommen.
Viel Erfolg,
Gruss,
Mathias
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