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| Aufgabe | | Zeigen Sie, daß die additiven Gruppen [mm] \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] isomorph sind. |
Hallo allerseits!
Also, daß [mm] \IR^{2} [/mm] und [mm] \IC [/mm] isomorph sind, ist mir klar, aber - [mm] \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] ?!
Kann mir irgendwer helfen? Sehe ich hier nur mal wieder den berühmten Wald vor lauter Bäumen nicht, oder habe ich Recht mit meiner Vermutung, daß eben [mm] \IR [/mm] nicht (!) isomorph ist zu [mm] \IC, [/mm] jedenfalls nicht additiv?
Vielen Dank schon mal im Voraus,
Alex
P.S. (wie üblich ...):
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Fr 10.11.2006 | | Autor: | felixf |
Moin Alex!
> Zeigen Sie, daß die additiven Gruppen [mm]\IR[/mm] und [mm]\IC[/mm] isomorph
> sind.
> Hallo allerseits!
>
> Also, daß [mm]\IR^{2}[/mm] und [mm]\IC[/mm] isomorph sind, ist mir klar, aber
> - [mm]\IR[/mm] und [mm]\IC[/mm] ?!
Warum nicht? Als Mengen sind sie ja gleichmaechtig 
> Kann mir irgendwer helfen? Sehe ich hier nur mal wieder den
> berühmten Wald vor lauter Bäumen nicht, oder habe ich Recht
> mit meiner Vermutung, daß eben [mm]\IR[/mm] nicht (!) isomorph ist
> zu [mm]\IC,[/mm] jedenfalls nicht additiv?
Doch, sie sind isomorph. Du kannst erstmal allgemein die folgende Aussage beweisen:
Sei $K$ ein Koerper und $V$ ein unendlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Dann ist $V$ isomorph zu $V [mm] \times [/mm] V$.
(Das ist sogar charakteristisch fuer unendlichdimensionale Vektorraeume: ein $K$-Vektorraum $V [mm] \neq [/mm] 0$ ist genau dann unendlichdimensional, wenn $V$ isomorph zu $V [mm] \times [/mm] V$ ist.)
Und dann wendest du dass auf $K = [mm] \IQ$ [/mm] und $V = [mm] \IR$ [/mm] an. Benoetigt natuerlich das Zornsche Lemma, damit du eine $K$-Basis von $V$ waehlen kannst, aber konstruktiv geht das ganze sowieso nicht
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Binie |
Liebes Forum
Also ich habe gelesen, dass [mm] (\IR,+) [/mm] und [mm] (\IC,+) [/mm] isomorph sind, aber ich komme einfach ncht auf einen Isomorphismus. Ich habs ja echt versucht, und bin sicher es ist nicht soooo schwer, aber wahrscheinlich habe ich ein Brett vor dem Kopf. Hat jemand von euch einen Tipp?
Liebe Grüße Binie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Mo 13.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Binie
Das ist gerade der Kern von Felix Aussage.
[mm] $\IR,+$ [/mm] und [mm] $\IC,+$ [/mm] sind isomorph, aber man kann keinen Isomorphismus explizit angeben.
mfG Moudi
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