Isomorphie/Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Do 27.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Ich habe hier eine Aufgabe, aber ich weiß nicht recht, wie ich das beweisen soll oder zeigen soll. Ich hoffe, ihr könnt mir tipps oder hinweise geben, wie ich sie lösen kann! Vielen Dank!
Die Aufgabe:
Seien U, V, W K-Vektorräume. Weiter seien f: U [mm] \to [/mm] V eine injektive und
g: V [mm] \to [/mm] W eine surjektive lineare Abbildung mit im(f) = ker(g).
Zeige, dass bis auf Isomorphie U ein Untervektorraum von V und W=V/U ist.
Ich hab mir das alles schon aufgemalt, und festgestellt, dass das bedeutet, dass ganz V auf die 0 von W abgebildet wird.
Aber wie zeige ich, dass bis auf Isomorphie U ein Untervektorraum von V und W=V/U ist.
Was heißt überhaupt "bis auf Isomorphie"?
Danke für eure Hilfe!
Ciao!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Do 27.01.2005 | | Autor: | SEcki |
> Aber wie zeige ich, dass bis auf Isomorphie U ein
> Untervektorraum von V und W=V/U ist.
Da die Abb. doch inj. ist sie ein Isomorphismus auf ihr Bild - also isomorph zu einem Unterraum. Zweiter Teil: Homomorphiesatz.
> Was heißt überhaupt "bis auf Isomorphie"?
Hmm, wie kann man das gut erklären ... in der Mathematik betrachtet man ja Objekte, die eigtl unterscheidlich aussehen könne, aber in Bezug auf eine Sache sich gleich verhalten - zB sind endl. dim. Unterräume zu den entsprechenden [mm]K^n[/mm] isomorph - dh. sie verhalten sich bzgl. der Vektroraumstruktur genauso, wie man es erwartet - vllcht ist aber zB eine ganz andere Topologie (bzw. Metrik) drauf definiert.. Und hier hast du sowas ähnliches: einmal ist U ein ganz eigenständiger Vektorraum, im anderen Fall in den größeren V eingebttet.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 So 30.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Danke für deine Antwort. Aber leider verstehe ich deine Antwort nicht so richtig.
Ist das immer so, dass eine injektive Abbildung ein Isomorphismus auf sein Bild ist? Und dass dann daraus automatisch folgt, dass sie isomorph zu einem Unterraum ist?
Ich verstehe nicht ganz den Zusammenhang, oder wie du so schnell darauf kommst. Könntest du mir das bitte noch einmal erklären?
Beim zweiten Teil vom Beweis verstehe ich auch nicht ganz, wie ich es anpacken soll. Wie zeige ich denn mithilfe vom Homomorphiesatz, dass W=V/U?
Ich bitte um weitere Hilfe und Tipps!
Danke schön!
Ciao!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Di 01.02.2005 | | Autor: | muli |
Zu deiner ersten Frage:
Ja, eine injektive Abb ist immer ein Isomorphismus auf sein Bild!!
du kannst Dir das folgendermaßen klar machen:
f: U->V sei injektiv, d.h. zu jedem v [mm] \in [/mm] V ex. höchsten ein u [mm] \in [/mm] U welches auf V abbildet.
Betrachtest Du jetzt nur das Bild von f welches in V nätürlich in V liegt, so gibt
es zu jedem v [mm] \cap [/mm] Im(f) genau ein u [mm] \in [/mm] U welchen dorthin abbildet.
d.h. f ist bijektiv bezüglich seines Bildes => f ist isomorphismus auf sein Bild , welches Untervektorraum von V ist.
Ob dieser Isomorphismus nun auch bedeutet das U ein Untervektorraum von V ist, weiss ich nicht. Warum sollte V nicht noch elemente enthalten die
nicht in U vorkommen??
Ich würde mich über eine erklärende antwort freuen!
muli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Do 03.02.2005 | | Autor: | Hexe |
So zuerst heisst es ja isomorph zu einem Untervektorraum also U [mm] \subset [/mm] V und deshalb stört das gar nicht, wenn V größer ist.
Über g weiss ich das es surjektiv ist, also muss Bild(g)=W gelten. Nun ist Bild(f)=kern(g) Also wird [mm] U\cong [/mm] Bild(f) komplett auf die Null abgebildet, deshalb ist [mm] W\cong [/mm] V \ U. Wenn also [mm] V\cong [/mm] U gilt, dann ist W={o}
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