Isomorphie & Normalteiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Blefix |
| Aufgabe | a) Es sei G eine endliche Gruppe und N und M zwei Normatlteiler mit
M [mm] \cap [/mm] N={1} und |M||N|=|G|. Zeigen Sie, dass dann G isomorph zum direkten Produkt der Gruppen M und N ist
b) Es sei p die kleinste Primzahl, die die Ordnung |G| der Gruppe G teilt. Zeigen Sie, dass dann jede Gruppe vom Index p ein Normalteiler ist. |
Hi alle miteinander,
Komme mit dieser Aufgabe einfach nicht zurecht. Ich weiß natürlich was Normalteiler sind und eigentlich dachte ich auch ich hätte den Sinn von Isomorphie verstanden, nur finde ich in der Aufgabe keinen Anfang oder besser gesagt bin ich mir nicht so sicher was ich genau zeigen muss, damit Isomorphie bewiesen ist.
Wäre für ein oder zwei Tipps echt dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:52 Di 28.11.2006 | | Autor: | Blefix |
Hab gerade in meinen Unterlagen einen Beweis gefunden, in der der Satz aus Teil a) benutzt wird. Weiß jemand zufällig ob der Satz einen Namen hat, damit ich mal nach ihm suchen kann?
MFG Blefix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 30.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Di 28.11.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
G sei eine endliche Gruppe, p der kleinste Primteiler der Gruppenordnung |G| = mp und H eine Untergruppe vom Index p, also [G:H] = p.
Beh.: H ist Normalteiler.
Sei [mm] \mathcal{H} [/mm] = [mm] {x^{-1}Hx} [/mm] die Menge der Konjugierten von H. Wenn sie nur ein Element enthält, sind wir fertig. Andernfalls schätzen wir mal ab, wie groß sie höchstens sein kann.
Jedes [mm] x^{-1}Hx [/mm] ist sein eigener Normalisator, weil es kein Normalteiler ist und der Index eine Primzahl ist. Der Durchschnitt D der [mm] x^{-1}Hx [/mm] ist ein Normalteiler in G. Er hat maximale Elementeanzahl, wenn sein Index in H gleich p ist. D = H kann ja nicht sein nach Voraussetzung.
Ich behaupte jetzt, daß höchstens p+1 Konjugierte von H in G passen. Dazu zähle ich Elemente. In D liegen m/p, in jeder Konjugierten dann noch m - m/p. Das ergibt für p+1 Konjugierte (m/p) + (p+1)(m - m/p) = mp = |G|. Also ist G ausgeschöpft.
Wenn D kleiner wird, gibt es weniger Konjugierte.
Jetzt operiert G/D auf [mm] \mathcal{H} [/mm] und permutiert die Elemente von [mm] \mathcal{H}. [/mm] Dabei wird die Identität gerade von Elementen aus D induziert, weil das der Durchschnitt der Normalisatoren ist. Also erhalte ich eine Einbettung von G/D in die [mm] S_{p+1}.
[/mm]
Und das kann nicht sein, weil |G/D| außer p mind. noch einen Primteiler q >= p hat.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Di 28.11.2006 | | Autor: | Blefix |
Dank dir Dieter
Werde mich gleich dahinter klemmen.
Schönen Tag noch
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