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| Aufgabe | 1. Ist [mm] (\IZ^{\*}_{8},*) [/mm] isomorph zu [mm] D_{2} [/mm] oder zu [mm] (\IZ_{4},+) [/mm] ?
2. Ist [mm] (\IZ^{\*}_{7},*) [/mm] isomorph zu [mm] D_{3} [/mm] oder zu [mm] (\IZ_{6},+) [/mm] ? |
Hallo,
zu 1. :
Würde es dort reichen zu sagen, dass [mm] \IZ^{\*}_{8} [/mm] nicht zyklisch ist und die Diedergruppen alle nicht zyklisch sind aber [mm] \IZ^{\*}_{4} [/mm] zyklisch ist. Somit kann [mm] \IZ^{\*}_{8} [/mm] nur isomorph zu [mm] D_{2} [/mm] sein....?
zu 2.:
Zu 2. weiß ich noch nix richtiges^^ Vielleicht könntet ihr mir nen Tipp geben. Also im Prinzip müsste es doch so ähnlich dann sein wie bei 1., oder?
LG und Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Sa 22.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
[mm]D_3\cong S_3[/mm] ist nicht kommutativ.
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Ja, stimmt. Habs gerade nachgelesen.
Also, alle symmetrischen Gruppen [mm] S_{n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2 sind nicht abelsch. Das heißt in diesem Falle kann [mm] \IZ^{*}_{8} [/mm] nur isomorph zu [mm] \IZ_{6} [/mm] sein. Da diese Gruppen beide abelsch sind.
Reicht das dann alles auch aus für die Aufgabe?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Sa 22.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Judith!
> Ja, stimmt. Habs gerade nachgelesen.
> Also, alle symmetrischen Gruppen [mm]S_{n}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2 sind
> nicht abelsch.
Das stimmt nicht, [mm] $S_2$ [/mm] ist abelsch. Jedoch sind alle [mm] $S_n$ [/mm] fuer $n > 2$ nicht abelsch.
> Das heißt in diesem Falle kann [mm]\IZ^{*}_{8}[/mm]
> nur isomorph zu [mm]\IZ_{6}[/mm] sein. Da diese Gruppen beide
> abelsch sind.
Du meinst [mm] $\IZ_7^\ast$ [/mm] und nicht [mm] $\IZ_8^\ast$, [/mm] oder? In dem Fall stimmt es dann.
> Reicht das dann alles auch aus für die Aufgabe?
Wenn du nicht zeigen musst, dass es wirklich zu [mm] $(\IZ_6, [/mm] +)$ isomorph ist, ja.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Sa 22.01.2011 | | Autor: | judithlein |
> Moin Judith!
>
> > Ja, stimmt. Habs gerade nachgelesen.
> > Also, alle symmetrischen Gruppen [mm]S_{n}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2 sind
> > nicht abelsch.
>
> Das stimmt nicht, [mm]S_2[/mm] ist abelsch. Jedoch sind alle [mm]S_n[/mm]
> fuer [mm]n > 2[/mm] nicht abelsch.
>
> > Das heißt in diesem Falle kann [mm]\IZ^{*}_{8}[/mm]
> > nur isomorph zu [mm]\IZ_{6}[/mm] sein. Da diese Gruppen beide
> > abelsch sind.
>
> Du meinst [mm]\IZ_7^\ast[/mm] und nicht [mm]\IZ_8^\ast[/mm], oder? In dem
> Fall stimmt es dann.
Genau. Das meine ich. Sorry...
> > Reicht das dann alles auch aus für die Aufgabe?
>
> Wenn du nicht zeigen musst, dass es wirklich zu [mm](\IZ_6, +)[/mm]
> isomorph ist, ja.
>
Mh, da ist ja nicht extra nach gefragt. Aber man könnte es ja zeigen in dem man es beispielsweise zum Widerspruch führt. Also für alle Elemente von [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] prüft, ob diese die Ordnung 2 haben. Dies ist nämlich nicht der Fall, daraus sieht man dann, dass [mm] \IZ^{\*}_{7} [/mm] zyklisch ist, nämlich [mm] 2^{n} [/mm] ist ein Erzeugendensystem dafür. Somit ist [mm] (\IZ^{\*}_{7},*) [/mm] isomorph zu [mm] (\IZ_{6},+).
[/mm]
Geht das?
Danke!
> LG Felix
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Sa 22.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin
> 1. Ist [mm](\IZ^{\*}_{8},*)[/mm] isomorph zu [mm]D_{2}[/mm] oder zu
> [mm](\IZ_{4},+)[/mm] ?
> 2. Ist [mm](\IZ^{\*}_{7},*)[/mm] isomorph zu [mm]D_{3}[/mm] oder zu
> [mm](\IZ_{6},+)[/mm] ?
> Hallo,
>
> zu 1. :
> Würde es dort reichen zu sagen, dass [mm]\IZ^{\*}_{8}[/mm] nicht
> zyklisch ist und die Diedergruppen alle nicht zyklisch sind
> aber [mm]\IZ^{\*}_{4}[/mm] zyklisch ist. Somit kann [mm]\IZ^{\*}_{8}[/mm] nur
> isomorph zu [mm]D_{2}[/mm] sein....?
Ja. Wobei du hier [mm] $(\IZ_4, [/mm] +)$ meinst und nicht [mm] $(\IZ_4^\ast, \cdot)$.
[/mm]
> zu 2.:
> Zu 2. weiß ich noch nix richtiges^^ Vielleicht könntet
> ihr mir nen Tipp geben. Also im Prinzip müsste es doch so
> ähnlich dann sein wie bei 1., oder?
Ein Tipp (im nachhinein): die multiplikative Gruppe eines endlichen Koerpers ist immer zyklisch.
LG Felix
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