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| Aufgabe | Zeigen Sie die Isomorphie der folgenden Algebren:
a) [mm] \IR[X]/(X^2+X+1) [/mm] und [mm] \IC
[/mm]
b) [mm] \IR[X]/(X^2+X) [/mm] und [mm] \IR^2 [/mm] |
Hallo!
Ich versuche mich grad an obiger Aufgabe und habe folgende Ansätze zu a):
Ich habe mir überlegt, dass [mm] \IC [/mm] isomorph ist zu [mm] \IR/(X^2+1), [/mm] was ich allerdings noch begründen sollte.
Aber wie ich konkret einen Algebrenisomorphismus angeben könnte weiß ich nicht so recht.
Wäre dankbar um jede Hilfe.
Grüße Elvis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 So 02.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Zeigen Sie die Isomorphie der folgenden Algebren:
> a) [mm]\IR[X]/(X^2+X+1)[/mm] und [mm]\IC[/mm]
> b) [mm]\IR[X]/(X^2+X)[/mm] und [mm]\IR^2[/mm]
> Hallo!
>
> Ich versuche mich grad an obiger Aufgabe und habe folgende
> Ansätze zu a):
> Ich habe mir überlegt, dass [mm]\IC[/mm] isomorph ist zu
> [mm]\IR/(X^2+1),[/mm] was ich allerdings noch begründen sollte.
> Aber wie ich konkret einen Algebrenisomorphismus angeben
> könnte weiß ich nicht so recht.
bei soetwas hilft einem häufig ein homomorphiesatz. wenn ihr keinen für algebren habt (ich vermute es soll sich hier um [mm] $\mathbb{R}$-algebren [/mm] handeln), dann nimm den für ringe oder vektorräume und rechne die verträglichkeit mit der jeweils fehlenden verknüpfung nach. bei teil a) bietet es sich an, den auswertungshomomorphismus [mm] $\mathbb{R}[X] \longrightarrow \mathbb{C}; \; [/mm] f [mm] \longmapsto [/mm] f(i)$ genauer anzuschauen. ist das ein homomorphismus? ist er surjektiv? welchen kern hat er?
bei teil b) kann man einen ähnlichen homomorphismus definieren. probiere das mal.
grüße
andreas
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Hallo andreas!
Der von dir genannte homomorphismus hat das Ideal [mm] (X^2+1) [/mm] als Kern.
und Das Bild ist [mm] \IC.
[/mm]
Daher sicher mir der Homomorphiesatz die Existenz eines Isomoprhismus also: [mm] \IR[X]/(X^2+1)\cong\IC [/mm] .
Nun muss ich zeigen dass mein Ring [mm] \IR[X]/(X^2+X+1) [/mm] isomorph zu obigem ist also [mm] \IR[X]/(X^2+1)\cong\IR[X]/(X^2+X+1).
[/mm]
Ich denke dass diese Isomorphie leicht einzusehen ist. Allerdings fehlt mir hier die konkrete Abbildung.
Grüße Elvis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 So 02.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Der von dir genannte homomorphismus hat das Ideal [mm](X^2+1)[/mm]
> als Kern.
> und Das Bild ist [mm]\IC.[/mm]
> Daher sicher mir der Homomorphiesatz die Existenz eines
> Isomoprhismus also: [mm]\IR[X]/(X^2+1)\cong\IC[/mm] .
(isomorph als was?). die überlegeungen stimmen aber alle.
> Nun muss ich zeigen dass mein Ring [mm]\IR[X]/(X^2+X+1)[/mm]
> isomorph zu obigem ist also
> [mm]\IR[X]/(X^2+1)\cong\IR[X]/(X^2+X+1).[/mm]
> Ich denke dass diese Isomorphie leicht einzusehen ist.
ich denke die isomorphie ist vielleicht nicht ganz so leicht einzusehen, wie die ursprüngliche in der aufgabe geforderte. den hinweise oben habe ich nur gegeben, da ich vorhin statt [mm] $X^2 [/mm] + X + 1$ aus versehen [mm] $X^2 [/mm] + 1$ gelesen habe. hier funktioniert das finden des hilfreichen homomorphismus aber genauso, wie für das polynom [mm] $X^2 [/mm] + 1$.
vorhin wurde ein $f [mm] \in \mathbb{R}[X]$ [/mm] einfach an einer nullstelle des polynoms, welches man im kern des homomorphismus haben will, ausgewertet, nämlich $f [mm] \longmapsto [/mm] f(i)$ - genauso hätte es auch mit $f [mm] \longmapsto [/mm] f(-i)$ funktioniert. beschaffe dir also die nullstellen [mm] $a_1, a_2 \in \mathbb{C}$ [/mm] von [mm] $X^2 [/mm] + X + 1$ und betrachte dann $f [mm] \longmapsto f(a_1)$. [/mm] ist das ein homomorphismus? kern? bild?
grüße
andreas
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Hallo andreas, danke du hast mir sehr geholfen!
Ich hätte noch eine Frage zur b).
Und zwar könnte ich da genauso vorgehen wie in a)?
Es gilt ja [mm] \IR^2\cong\IC [/mm] als Körper. Ich weiß nun nicht wie es sich dann mit der Situation als Algebren verhält. Falls das aber so klappen sollte. Könnte ich ja auch hier den Auswertungshomomorphismus benutzen.
Edit: ich meinte natürlich [mm] \IR^2 [/mm] statt [mm] \IR
[/mm]
Grüße Elvis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 So 02.11.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> Ich hätte noch eine Frage zur b).
> Und zwar könnte ich da genauso vorgehen wie in a)?
> Es gilt ja [mm]\IR\cong\IC[/mm] als Körper.
nein, das gilt ganz sicher nicht. wie sollte dieser isomorphismus denn aussehen?
> Ich weiß nun nicht wie
> es sich dann mit der Situation als Algebren verhält. Falls
> das aber so klappen sollte. Könnte ich ja auch hier den
> Auswertungshomomorphismus benutzen.
das geht auch wieder mit einer art auswertungshomorphismus. wohin sollte der denn diesmal gehen? und wie sieht das polynom welches im kern liegen soll (über [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] faktorisert) aus?
grüße
andreas
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Hi!
Entschuldige ich meinte natürlich [mm] \IR^2 [/mm] statt [mm] \IR, [/mm] habe es korrigiert.
Da [mm] \IR^2\cong\IC [/mm] gilt(als Körper) , könnte ich diesem Auswertungshomomorphismus nicht wieder in [mm] \IC [/mm] abbilden lassen anstatt in [mm] \IR^2 [/mm] ?Hätte ich dann nicht die Isomorphie?
Entschuldige bitte den Tippfehler.
Grüße Elvis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 So 02.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Entschuldige ich meinte natürlich [mm]\IR^2[/mm] statt [mm]\IR,[/mm] habe es
> korrigiert.
> Da [mm]\IR^2\cong\IC[/mm] gilt(als Körper) , könnte ich diesem
> Auswertungshomomorphismus nicht wieder in [mm]\IC[/mm] abbilden
> lassen anstatt in [mm]\IR^2[/mm] ?Hätte ich dann nicht die
> Isomorphie?
kein problem wegen des tippfehlers. überleg dir, ob [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] und [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] als ringe isomorph sein können. wie würdest du die abbildung wählen? was ist das neutrale element bezüglich der multiplikation in [mm] $\mathbb{C}$? [/mm] und wie sieht es in [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] aus? gehen einheiten auf einheiten?
grüße
andreas
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Hallo!
Ich betrachte:
[mm] \beta:\IC\to\IR^2, a+bi\mapsto(a,b)
[/mm]
somit ist [mm] \beta(1+0i)=(1,0)
[/mm]
Und die übrigen Bedingungen sind offensichtlich auch erfüllt.
Grüße Elvis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 So 02.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich betrachte:
>
> [mm]\beta:\IC\to\IR^2, a+bi\mapsto(a,b)[/mm]
>
> somit ist [mm]\beta(1+0i)=(1,0)[/mm]
> Und die übrigen Bedingungen sind offensichtlich auch
> erfüllt.
rechne das mal nach  ist insbesondere $(1, 0)$ tatsächlich das multiplikativ neutrale element von [mm] $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ [/mm] (wie ist die multiplikation überhaupt definiert?)?
grüße
andreas
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Es tut mir leid, ich bin verwirrt und unfähig zugleich. Ich glaube ich bringe da einiges durcheinander.
Ich glaube ich verwechsle das mit der Isomorphie als [mm] \IR [/mm] Vektorräume.
Grüße Elvis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 So 02.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
ja als [mm] $\mathbb{R}$-vektorräumen [/mm] sind sie isomorph (beide haben [mm] $\mathbb{R}$-dimension [/mm] $2$). ist dir klar, warum die beiden strukturen als ringe nicht isomorph sein können?
zur aufgabe: welches polynom soll denn im kern liegen? welche auswertungshomomorphismen beiten sich also an?
grüße
andreas
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Hallo
im Kern soll [mm] X^2+X [/mm] liegen, es bietet sich also f [mm] \mapsto [/mm] f(0) oder [mm] f\mapsto [/mm] f(-1) an.
Ist mir nicht klar, nein. Vielleicht liegt es an den Einheiten der jeweiligen Strukturen?
Grüße Elvis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 So 02.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> im Kern soll [mm]X^2+X[/mm] liegen, es bietet sich also f [mm]\mapsto[/mm]
> f(0) oder [mm]f\mapsto[/mm] f(-1) an.
genau. und du willst ja eine abbildung nach [mm] $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ [/mm] definieren. also kannst du die beiden abbildungen ja in je eine koordinate abbilden lassen
> Ist mir nicht klar, nein. Vielleicht liegt es an den
> Einheiten der jeweiligen Strukturen?
in [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] ist ja alles außer $0$ invertierbar. was ist in [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] das inverse von zum beispiel $(0, 1)$?
grüße
andreas
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Das war auch meine Vermutung. Vielen herzlichen Dank für deine Hilfe!
Habe im Laufe dieser Diskussion sehr viel gelernt. Vor allem hab ich gelernt dass ich noch viel lernen muss.
Vielen Dank nochmals!
Grüße Elvis!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 So 02.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo
Schau dir mal den Beitrag an, ist vom Prinzip her dasselbe:
https://matheraum.de/read?i=454901
Gruß
Christian
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