Isomorph und isometrisch < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Mi 04.06.2008 | | Autor: | mojak |
Hallo, bin grad am rätseln ob folgender Operator isomorph und isometrisch ist:
V: [mm] L^{2}((0,\infty)) \to L^{2}((0,\infty)), [/mm] (Vf)(t) := [mm] \begin{cases} f(t-1), wenn t\ge1, \\ 0, wenn 0 < t < 1, \end{cases} [/mm] f [mm] \in L^{2}((0,\infty))
[/mm]
ich würde eigentlich meinen, dass dieser Operator ja nicht injektiv ist, da ja alle Zahlen von 0 < t < 1 auf 0 abgebildet werden. oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Mi 04.06.2008 | | Autor: | fred97 |
1. Frage: was bedeutet es,dass eine Abbildung "isomorph" ist.
Isomorphie bei Abbildungen habe ich noch nie gesehen. Schau noch mal nach.
(Räume können isomorph sein)
2. Frage: V ist doch linear, d.h. V ist genau dann injektiv, wenn kern(V) = {0}.
Nimm Dir mal ein f im Kern von V. Was folgt für f?
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:16 Do 05.06.2008 | | Autor: | mojak |
OK. anders formuliert:
Ist dieser Operator ein isometrischer Isomorphismus. (also ist V bijektiv und [mm] V^{-1} [/mm] stetig, und gilt [mm] \|Vf\| [/mm] = [mm] \|f\| [/mm] für alle f [mm] \in L((0,\infty) [/mm] ?
Rein vom Gefühl her würde ich ja sagen, dass die Stetigjeit von [mm] V^{-1} [/mm] gegeben ist, da ja eigentlich f(t-1) nur die variable "verschiebt".
Aber das mit der Injektivität ist mir wie gesagt immernoch etwas schleierhaft.
Ich meine damit der der ker V sind ja alle f [mm] \in [/mm] L((0, [mm] \infty)) [/mm] so dass Vf = 0, richtig? das wären in diesem Fall alle f im Bereich 0 < t < 1 und alle f(t-1) = 0 .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 06.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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