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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Fr 21.04.2006 | | Autor: | choosy |
Hallo,
ich schau grad so mein skript durch und da kommt mir doch so eine frage:
Als definition für isometrie steht da grob gesagt eine abbildung A für die gilt
[mm] $\|Ax\|=\|x\|$.
[/mm]
nun steht im skript mit eben solch einer Linearen isometrie, und hilbertraumelementen $x,y$:
$(x,y)=(Ax,Ay)$
wobei [mm] $(\cdot,\cdot)$ [/mm] das skalarprodukt sein soll.
ich hab mal versucht das zu beweisen:
[mm] $\|x\|+\|y\|-(Ax,Ay)-(Ay,Ax)=\|Ax\|+\|Ay\||-(Ax,Ay)-(Ay,Ax)=\|A(x-y)\|=\|x-y\| [/mm] = (x-y,x-y) = [mm] \|x\|+\|y\|-(x,y)-(y,x)$
[/mm]
Also
$(Ax,Ay)+(Ay,Ax)=(x,y)+(y,x)$
Damit ist jedenfalls
$Re(Ax,Ay)=Re(x,y)$
weiter komm ich da leider nicht, hat wer n tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:07 Sa 22.04.2006 | | Autor: | topotyp |
Es ist schon erwähnenswert dass du in einem komplexen!!! Hilbertraum
arbeitest. Die Idee ist du müsstest (x,y) allein durch die Norm ausdrücken.
(Vergiss also mal den Operator völlig.)
Also zb $(x,y) = [mm] \|x \pm iy\|^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] etc. $
so dass die Glg. stimmt. Was da jetzt genau hinkommt, findest du
in jedem Buch über Hilbertraumtheorie und im Komplexen ist der Ausdruck
nämlich nicht ganz so einfach wie im Reellen, wo man ihn mal schnell finden
kann.
Gruss topotyp
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