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| Aufgabe | Sei <-,-> das Standardskalarprodukt auf [mm] \IR^{n} [/mm] \ {0}. Betrachten sie die Abbildung [mm] s_{a}: \IR^{n}\to \IR^{n}
[/mm]
[mm] v\to s_{a}(v)=v-2*a*/ [/mm] und überlegen Sie sich zunächst, was passiert, wenn man für v den Vektor a
und einen zu a orthogonalen Vektor einsetzt. Zeigen Sie:
(i) [mm] s_{a} [/mm] ist eine Isometrie
(ii) Bestimmen Sie fur alle λ ∈ R die Dimension des Eigenraums V (λ) zu λ.
(iii) Bestimmen Sie die Determinante [mm] det(s_{a}).
[/mm]
Was ist für n = 3 die geometrische Bedeutung der Abbildung [mm] s_{a}? [/mm] |
Hallo zusammen,
[mm] s_{a}(a)=-a [/mm] und für v orthogonal zu a ist [mm] s_{a}(v)=v.
[/mm]
i) hab ich schon gezeigt
ii) sei B eine orthogonale Basis mit den vektoren B={ [mm] s_{1},..., s_{n-1}, [/mm] a }.
[mm] s_{1},..., s_{n-1} [/mm] sind orthogonal zu a.
Als nächstes bilde ich die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis
[mm] s_{a}(a)=-a [/mm]
[mm] s_{a}(a)=-1*a+0*s_{1}+..+0*s_{n-1}
[/mm]
[mm] s_{a}(s_{1})=s_{1} [/mm]
[mm] s_{a}(s_{1})=0*a+1*s_{1}+...+0*s_{n-1}
[/mm]
Meine Darstellungsmatrix [mm] A=\begin{bmatrix}
-1 & \cdots & 0 \\
\vdots & 1 \dots & \vdots \\
0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
Wenn λ ein Eigenwert ist der Eigenraum [mm] \begin{bmatrix}
-1- λ & \cdots & 0 \\
\vdots & 1-λ \dots & \vdots \\
0 & \cdots & 1-λ
\end{bmatrix} [/mm] ( Auf der Diagonale soll -λ stehen)
Muss ich die Dimension des Eigenraums in Abhängigkeit von λ bestimmen ?
Ist es bis hier hin richtig ?
iii) Die Determinante ist das Produkt der Skalare auf der Diagonalen der Matrix A also gleich -1.
mfg zahlenfreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Sa 25.04.2015 | | Autor: | hippias |
> Sei <-,-> das Standardskalarprodukt auf [mm]\IR^{n}[/mm] \ {0}.
> Betrachten sie die Abbildung [mm]s_{a}: \IR^{n}\to \IR^{n}[/mm]
>
> [mm]v\to s_{a}(v)=v-2*a*/[/mm] und überlegen Sie sich
> zunächst, was passiert, wenn man für v den Vektor a
> und einen zu a orthogonalen Vektor einsetzt. Zeigen Sie:
> (i) [mm]s_{a}[/mm] ist eine Isometrie
> (ii) Bestimmen Sie fur alle λ ∈ R die Dimension des
> Eigenraums V (λ) zu λ.
> (iii) Bestimmen Sie die Determinante [mm]det(s_{a}).[/mm]
> Was ist für n = 3 die geometrische Bedeutung der
> Abbildung [mm]s_{a}?[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> [mm]s_{a}(a)=-a[/mm] und für v orthogonal zu a ist [mm]s_{a}(v)=v.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> i) hab ich schon gezeigt
> ii) sei B eine orthogonale Basis naler Basis
Mir ist nicht ganz klar, was Du hier mit orthogonaler Basis meinst. Aber vermutlich hat es keine Bedeutung fuer den Beweis.
> mit den vektoren B={
> [mm]s_{1},..., s_{n-1},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
a }.
> [mm]s_{1},..., s_{n-1}[/mm] sind orthogonal zu a.
Man koennte etwas ausfuehren, weshab es so eine spezielle Basis ueberhaupt gibt.
> Als nächstes bilde ich die Darstellungsmatrix bezüglich
> der Basis
> [mm]s_{a}(a)=-a[/mm]
> [mm]s_{a}(a)=-1*a+0*s_{1}+..+0*s_{n-1}[/mm]
> [mm]s_{a}(s_{1})=s_{1}[/mm]
> [mm]s_{a}(s_{1})=0*a+1*s_{1}+...+0*s_{n-1}[/mm]
>
> Meine Darstellungsmatrix [mm]A=\begin{bmatrix}
-1 & \cdots & 0 \\
\vdots & 1 \dots & \vdots \\
0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Wenn λ ein Eigenwert ist der Eigenraum [mm]\begin{bmatrix}
-1- λ & \cdots & 0 \\
\vdots & 1-λ \dots & \vdots \\
0 & \cdots & 1-λ
\end{bmatrix}[/mm]
> ( Auf der Diagonale soll -λ stehen)
> Muss ich die Dimension des Eigenraums in Abhängigkeit von
> λ bestimmen ?
Ja.
> Ist es bis hier hin richtig ?
Ja. Das Zeichen [mm] $\lambda$ [/mm] gibst Du als \ lambda ein.
>
> iii) Die Determinante ist das Produkt der Skalare auf der
> Diagonalen der Matrix A also gleich -1.
Richtig.
> mfg zahlenfreund
>
Ich haette noch ein Frage: Ist bei euch ein Skalarprodukt tatsaechlich auf [mm] $\IR^{n}\backslash\{0\}$ [/mm] definiert? Oder meinst Du, dass [mm] $a\neq [/mm] 0$ ist?
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