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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Wo haben die folgenden Funktionen isolierte Singularitäten ? Geben Sie für alle isolierte Singularitäten den Typ an.
a) [mm] e^{\bruch{1}{1+z²}}
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{cos(1/z)}
[/mm]
c) [mm] \bruch {e^{i\pi*z}-z}{(z²-1)²} [/mm] |
Hallo zusammen!
Wie kann ich allgemein herausfinden, welche isolierten Singularitäten die Fkten haben und von welchem Typ sie sind ?
Ich verstehe auch nicht so genau, was hebbare und wesentliche Singularitäten sind. Würde mich freuen, wenn ihr mir anhand von anderen Beispielen das erklären könntet.
Zur Aufgabe hab ich mir gedacht:
[mm] a)e^{\bruch{1}{1+z²}} [/mm] hat bei z=i und z=-i isolierte Singularitäten
b) die Fkt besitzt in z= [mm] 1/(\pi\2 [/mm] + [mm] k\pi) [/mm] , k [mm] \in \IZ [/mm] Pole erster Ordnung
c) Betrachte ich den Grenzwert der Fkt für z [mm] \to [/mm] 1, so strebt der Zähler gegen -2 und der Nenner gegen Null, also muss der Grenzwert unendlich sein, also liegt ein Pol 2.Ordnung in z=1 vor. Kann man den Grenzwert so bestimmen ?
für z=-1 kann man zumindest so den GW nicht bestimmen, das Produkt [mm] =0*\infty [/mm] nicht eindeutig ist.
Ich würde mich über eure Hilfe freuen.Danke.
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Sa 10.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry!
> Wo haben die folgenden Funktionen isolierte Singularitäten
> ? Geben Sie für alle isolierte Singularitäten den Typ an.
> a) [mm]e^{\bruch{1}{1+z²}}[/mm]
> b) [mm]\bruch{1}{cos(1/z)}[/mm]
> c) [mm]\bruch {e^{i\pi*z}-z}{(z²-1)²}[/mm]
> Hallo zusammen!
>
> Wie kann ich allgemein herausfinden, welche isolierten
> Singularitäten die Fkten haben und von welchem Typ sie sind
> ?
Meistens ist es ein wenig Erfahrung  Ansonsten mach eine Laurententwicklung in dem Punkt und schau an, wie der Hauptteil aussieht.
Wenn eine Funktion $f$ in [mm] $z_0$ [/mm] einen Pol der Ordnung $k$ hat, sagt man [mm] $ord_{z_0} [/mm] f = -k$. Wenn sie dort eine Nullstelle der Ordnung $k$ hat, sagt man [mm] $ord_{z_0} [/mm] f = k$. Wenn sie weder Pol- noch Nullstelle hat, sagt man [mm] $ord_{z_0} [/mm] f = 0$.
Damit gilt dann: [mm] $ord_{z_0} \frac{f}{g} [/mm] = [mm] ord_{z_0} [/mm] f - [mm] ord_{z_0} [/mm] g$. Mit dieser Formel kannst du leicht Pol- und Nullstellen von Bruechen bestimmen (etwa in Aufgabenteil c).
> Ich verstehe auch nicht so genau, was hebbare und
> wesentliche Singularitäten sind. Würde mich freuen, wenn
> ihr mir anhand von anderen Beispielen das erklären
> könntet.
Bei hebbaren Singularitaeten handelt es sich eigentlich nicht um Singularitaeten der Funktion, sondern um Stellen die aufgrund der gegebenen Funktionsbeschreibung erstmal nicht definiert sind, wo die eigentliche Funktion jedoch holomorph ist.
Bei Polen handelt es sich um Singularitaeten, die durch Multiplikation einer passenden Potenz von $z - [mm] z_0$ [/mm] zu einer hebbaren Singularitaet werden. Insbesondere sind Funktionen, die nur solche Singularitaeten haben, meromorph.
Bei wesentlichen Singularitaeten ist die Funktion an der Stelle ``so richtig kaputt'': Egal mit was fuer Potenzen von $z - [mm] z_0$ [/mm] du sie multiplizierst, du bekommst die Singularitaet nicht weg (in dem Sinne das sie hebbar wird). Die Funktion verhaelt sich bei solchen Singularitaeten ganz wild; sie kommt in deren Naehe jeden beliebigen Wert beliebig nahe. Insbesondere ist eine Funktion in einer wesentlichen Singularitaet nicht meromorph.
> Zur Aufgabe hab ich mir gedacht:
> [mm]a)e^{\bruch{1}{1+z²}}[/mm] hat bei z=i und z=-i isolierte
> Singularitäten
Und zwar hat es dort wesentliche Singularitaeten: Mach eine Partialbruchzerlegung [mm] $\frac{1}{1 + z^2} [/mm] = [mm] \frac{A}{z + i} [/mm] + [mm] \frac{B}{z - i}$ [/mm] mit Konstanten $A, B [mm] \in \IC$. [/mm] Dann ist [mm] $\exp(\frac{1}{1 + z^2}) [/mm] = [mm] \exp(\frac{A}{z + i}) \exp(\frac{B}{z - i})$. [/mm] Etwa in der Naehe von $i$ ist [mm] $\exp(\frac{A}{z + i})$ [/mm] eine schoene, nullstellenfreie holomorphe Funktion. Die Funktion [mm] $\exp(\frac{B}{z - i})$ [/mm] dagegen hat bei $i$ eine wesentliche Singularitaet: Die Laurententwicklung lautet [mm] $\exp(\frac{B}{z - i}) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{(B/(z-i))^k}{k!} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{B^k}{k!} (z-i)^{-k}$. [/mm] Damit hat das Produkt ebenfalls eine wesentliche Singularitaet in $i$.
Analog gehts fuer $-i$.
> b) die Fkt besitzt in z= [mm]1/(\pi 2[/mm] + [mm]k\pi)[/mm] , k [mm]\in \IZ[/mm] Pole
> erster Ordnung
Genau. Die einzige Ausnahme ist $z = 0$: Dort hast du keine isolierte Singularitaet, da sich die anderen Pole gegen $0$ haeufen. Insofern ist die Funktion auf [mm] $\IC \setminus \{ 0 \}$ [/mm] meromorph.
> c) Betrachte ich den Grenzwert der Fkt für z [mm]\to[/mm] 1, so
> strebt der Zähler gegen -2 und der Nenner gegen Null, also
> muss der Grenzwert unendlich sein, also liegt ein Pol
> 2.Ordnung in z=1 vor. Kann man den Grenzwert so bestimmen
> ?
Ja, kannst du.
> für z=-1 kann man zumindest so den GW nicht bestimmen, das
> Produkt [mm]=0*\infty[/mm] nicht eindeutig ist.
Ja, so geht das nicht.
Untersuch doch mal Zaehler und Nenner getrennt auf Nullstellen:
- Der Nenner hat in $1$ und $-1$ jeweils eine zweifache Nullstelle.
- Der Zaehler hat in $-1$ eine einfache Nullstelle (da eigentlich nur [mm] $\pm [/mm] 1$ interessant sind, da der Nenner dort Nullstellen hat, lohnt es sich nicht fuer weitere Stellen zu ueberlegen ob es dort Nullstellen gibt :) ).
Somit hat der Bruch in $1$ einen $2 - 0$-fachen Pol (Zaehler hat keine Nullstelle, Nenner eine zweifache) und in $-1$ eine $2 - 1$-fachen Pol (Zaehler hat einfache, Nenner zweifache Nullstelle).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Do 15.06.2006 | | Autor: | Fry |
Hallo,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort !!
Grüße
Fry
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