Isolierte Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Fr 29.06.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Begründen Sie, wieso die hier aufgelisteten Funktionen holomorph sind, bestimmen Sie sämtliche ihrer isolierten Singularitäten und ordnen Sie diese in eine der drei Kategorien "hebbar", "Pol" und "wesentliche Singularität" ein. Bestimmen Sie bei Polen zusätzlich die Ordnung.
(a) $ [mm] D:=\IC\backslash\IZ, [/mm] \ \ \ \ \ \ \ f : [mm] D\to\IC, [/mm] \ \ [mm] x\mapsto cos(\bruch{1}{x}) [/mm] $ |
Hallo! Poste erstmal nur Teil (a), da ich noch ein paar Fragen dazu habe.
Zur Holomorphie: Reicht es, die komplexe Potenzreihendarstellung anzugeben? D.h.
[mm] cos(\bruch{1}{x})=1-\bruch{1}{x^2*2!}+\bruch{1}{x^4*4!}\pm...
[/mm]
und es gilt ja: f lässt sich in eine Potenzreihe entwickeln [mm] \gdw [/mm] f holomorph ?
Die isolierte Singularität von f ist [mm] x_0=0. [/mm] Aus der Potenzreihenentwicklung würde ich jetzt folgern, dass es sich um eine wesentliche Singularität handelt, da f unendlich viele Glieder mit negativen Potenzen von x enthält.
Passt das so in etwa?
Vielen Dank und lieben Gruß!
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Fr 29.06.2012 | | Autor: | chesn |
Könnte noch jemand drüber schauen? Wäre sehr nett. :)
Gruß
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Sa 30.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Machen wirs allgemein:
Sei f eine ganze Funktion, sei [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] die Potenzreihenentwicklung von f auf [mm] \IC [/mm] und sei g(z):=f(1/z).
Dann gilt: f ist kein Polynom [mm] \gdw a_n \ne [/mm] 0 für unendlich viele n [mm] \gdw [/mm] g hat in 0 eine wesentliche Singularität.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Sa 30.06.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke, das ist jetzt klar. Noch eine Frage zu
(b) [mm] D:=\IC\backslash\{-1,1\}, [/mm] f: [mm] D\to\IC, x\mapsto\bruch{exp(x)}{1-x}
[/mm]
[mm] \bruch{exp(x)}{1-x}=\bruch{1}{1-x}+\bruch{x}{1-x}+\bruch{x^2}{2!*(1-x)}+\bruch{x^3}{3!*(1-x)}+...
[/mm]
Im ersten Summanden hat der Nenner einen höheren Grad als im Zähler, im zweiten Summanden sind sie gleich und ab dem dritten ist der Grad des Zählers höher.
Lässt das die Schlussfolgerung zu, dass es sich bei [mm] z_0=1 [/mm] um eine Polstelle 1. Grades handelt? Habe ich das richtig verstanden?
Noch eine Frage: Betrachte [mm] f(x)=\bruch{p(x)}{q(x)} [/mm] mit Polynomen p und q.
p habe eine n-fache Nullstelle und q eine k-fache Nullstelle, dann gilt:
- für $ [mm] n\ge [/mm] k $ : Die Singularität ist hebbar.
- für $ n<k $ : Polstelle (k-m)-ter Ordnung
Kann man das so als Merkregel stehen lassen?
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Sa 30.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo! Danke, das ist jetzt klar. Noch eine Frage zu
>
> (b) [mm]D:=\IC\backslash\{-1,1\},[/mm] f: [mm]D\to\IC, x\mapsto\bruch{exp(x)}{1-x}[/mm]
Warum ist f in -1 nicht definiert ?
>
> [mm]\bruch{exp(x)}{1-x}=\bruch{1}{1-x}+\bruch{x}{1-x}+\bruch{x^2}{2!*(1-x)}+\bruch{x^3}{3!*(1-x)}+...[/mm]
>
> Im ersten Summanden hat der Nenner einen höheren Grad als
> im Zähler, im zweiten Summanden sind sie gleich und ab dem
> dritten ist der Grad des Zählers höher.
>
> Lässt das die Schlussfolgerung zu, dass es sich bei [mm]z_0=1[/mm]
> um eine Polstelle 1. Grades handelt?
So kannst Du das nicht machen. Allgemein: f habe in [mm] z_0 [/mm] eine isolierte Singularität.
f hat genau dann in [mm] z_0 [/mm] einen einfachen Pol, wenn [mm] \limes_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z) [/mm] existiert und [mm] \ne [/mm] 0 ist.
> Habe ich das richtig
> verstanden?
>
> Noch eine Frage: Betrachte [mm]f(x)=\bruch{p(x)}{q(x)}[/mm] mit
> Polynomen p und q.
> p habe eine n-fache Nullstelle und q eine k-fache
> Nullstelle, dann gilt:
>
> - für [mm]n\ge k[/mm] : Die Singularität ist hebbar.
> - für [mm]n
Du meinst sicher (k-n)-ter Ordnung
>
> Kann man das so als Merkregel stehen lassen?
Ja
FRED
>
> Vielen Dank und lieben Gruß,
> chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Sa 30.06.2012 | | Autor: | chesn |
Vielen vielen Dank, Du hast mir wieder sehr geholfen! :)
Warum f in -1 nicht definiert ist, habe ich mich auch schon gefragt, aber die Aufgabenstellung lautet explizit so.
Gut also mit [mm] x_0=1 [/mm] wäre mit:
[mm] \lim_{x\to 1}(x-1)*\bruch{exp(x)}{1-x}\not=0
[/mm]
Rechenweg lass ich mal beiseite..
Allgemein gilt dann also:
f habe eine Polstelle bei [mm] z_0.
[/mm]
Dann gibt der Grad des Nenners an, welche Ordnung die Polstelle hat.
Hat die Polstelle den Grad n, so existiert [mm] \lim_{z\to z_0}(z-z_0)^n*f(x) [/mm] und ist [mm] \not= [/mm] 0.
Danke und lieben Gruß,
chesn
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