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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Sa 26.11.2005 | | Autor: | Gero |
Hi @ all,
ich hab da mal wieder ne Aufgabe, diesmal in Stocha!
"Gegeben sei eine unabhängige Folge [mm] (X_n)_{n \ge 1} [/mm] von diskreten Zufallsvariablen auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum ( OMEGA ;F; P), so dass
[mm] P[X_n [/mm] = 1] = p und [mm] P[X_n [/mm] = -1] = 1 - p für alle n [mm] \ge [/mm] 1, wobei
1/2 [mm] \not= [/mm] p [mm] \in [/mm] [0; 1] fest gewählt ist. Dann heißt [mm] (S_n)_{n \ge 0} [/mm] mit [mm] S_n [/mm] := [mm] X_1 [/mm] +...+ [mm] X_n [/mm] die zugehörige (unsymmetrische) Irrfahrt.
(a) Berechnen Sie [mm] P[S_n [/mm] = 0] für alle n [mm] \ge [/mm] 0.
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis
[mm] {S_n = 0} [/mm] für unendlich viele n eintritt."
Also ich hab bei der a ewig lang überlegt. In gewisser Weise, muß ih ja genauso viele Wege zurückgehen, wie ich vorgelaufen bin. Aber mathematisch hab ich da meine Problemchen. Ich hab jetzt mitbekommen, dass irgendwas mit [mm] (1-p)^{2n} [/mm] herauskommen muß! Kann das sein?
Bei der b.) hab ich keine Ahnung, wie ich´s anpacken soll. Kann mir bitte jemand helfen?
Danke schonmal im voraus für eure Antwort!
Gruß
Gero
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> Hi @ all,
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> ich hab da mal wieder ne Aufgabe, diesmal in Stocha!
> "Gegeben sei eine unabhängige Folge [mm](X_n)_{n \ge 1}[/mm] von
> diskreten Zufallsvariablen auf einem geeigneten
> Wahrscheinlichkeitsraum ( OMEGA ;F; P), so dass
> [mm]P[X_n[/mm] = 1] = p und [mm]P[X_n[/mm] = -1] = 1 - p für alle n [mm]\ge[/mm] 1,
> wobei
> 1/2 [mm]\not=[/mm] p [mm]\in[/mm] [0; 1] fest gewählt ist. Dann heißt
> [mm](S_n)_{n \ge 0}[/mm] mit [mm]S_n[/mm] := [mm]X_1[/mm] +...+ [mm]X_n[/mm] die zugehörige
> (unsymmetrische) Irrfahrt.
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> (a) Berechnen Sie [mm]P[S_n[/mm] = 0] für alle n [mm]\ge[/mm] 0.
> (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das
> Ereignis
> [mm]{S_n = 0}[/mm] für unendlich viele n eintritt."
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> Also ich hab bei der a ewig lang überlegt. In gewisser
> Weise, muß ih ja genauso viele Wege zurückgehen, wie ich
> vorgelaufen bin. Aber mathematisch hab ich da meine
> Problemchen. Ich hab jetzt mitbekommen, dass irgendwas mit
> [mm](1-p)^{2n}[/mm] herauskommen muß! Kann das sein?
>
> Bei der b.) hab ich keine Ahnung, wie ich´s anpacken soll.
> Kann mir bitte jemand helfen?
> Danke schonmal im voraus für eure Antwort!
>
> Gruß
>
> Gero
Servus,
ich geb hier nur Tipps, hoffe es hilft dir weiter 
also zur (a): erstens, Fallunterscheidung n gerade, n ungerade... für n gerade betrachte erstmal die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] X_{1} [/mm] bis [mm] X_{n/2}
[/mm]
+1 annimmt und der rest -1, also quasi dass [mm] S_{n} [/mm] auch wirklich 0 ist. Und dann diese Wahrscheinlichkeit mit der Anzahl der möglichen Wege multiplizieren... das müßte dann wohl das Ergebnis sein.
zu (b) schau mal im Feller "An introduction to probability theory and its applications" unter Randomwalks (Kapitel 3 glaube ich)... da müßte sowas stehen, aber wahrscheinlich Gesetz großer Zahlen...
Gruß,
Spellbinder
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