Irreduzible normierte Polynome < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Di 23.05.2006 | | Autor: | linder05 |
| Aufgabe | | Seien p und q Primzahlen. Bestimme die Anzahl der irreduziblen normierten Polynome vom Grad q über dem Körper [mm] \IF_{p}. [/mm] |
Ich hab mir bereits dir folgenden Gedanken gemacht:
Alle diese Polynome haben die Form
[mm] x^{q}+ \alpha_{q-1}x^{q-1}+...+\alpha_{1}x^{1}+\alpha_{0}
[/mm]
Für jeden der Koeffizienten von [mm] \alpha_{q-1} [/mm] bis [mm] \alpha_{1} [/mm] gibt es p Möglichkeiten! Der Koeffizient des konstanten Terms muss ungleich Null sein, da sonst 0 eine Nullstelle dieses Polynoms ist. Also hat dieser nur p-1 mögliche Koeffizienten.
Außerdem muss das Polynom normiert sein, d.h. Leitkoeffizient gleich 1.
Insgesamt gibt es dann 1*p*p*...*p*(p-1)= [mm] p^{q-1}*(p-1)
[/mm]
Möglichkeiten für normierte Polynome vom Grad q über dem Körper [mm] \IF_{p}.
[/mm]
Stimmen meine Überlegungen?
Was muss ich jetzt noch tun, um die Anzahl der IRREDUZIBLEN normierten Polynome zu finden?!
Danke für alle Tipps!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Di 23.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo linder!
> Seien p und q Primzahlen. Bestimme die Anzahl der
> irreduziblen normierten Polynome vom Grad q über dem Körper
> [mm]\IF_{p}.[/mm]
> Ich hab mir bereits dir folgenden Gedanken gemacht:
>
> Alle diese Polynome haben die Form
>
> [mm]x^{q}+ \alpha_{q-1}x^{q-1}+...+\alpha_{1}x^{1}+\alpha_{0}[/mm]
>
> Für jeden der Koeffizienten von [mm]\alpha_{q-1}[/mm] bis [mm]\alpha_{1}[/mm]
> gibt es p Möglichkeiten! Der Koeffizient des konstanten
> Terms muss ungleich Null sein, da sonst 0 eine Nullstelle
> dieses Polynoms ist. Also hat dieser nur p-1 mögliche
> Koeffizienten.
> Außerdem muss das Polynom normiert sein, d.h.
> Leitkoeffizient gleich 1.
>
> Insgesamt gibt es dann 1*p*p*...*p*(p-1)= [mm]p^{q-1}*(p-1)[/mm]
> Möglichkeiten für normierte Polynome vom Grad q über dem
> Körper [mm]\IF_{p}.[/mm]
...die nicht $0$ als Nullstelle haben.
> Stimmen meine Überlegungen?
Ja. Aber sie bringen dir nichts fuer die Aufgabenstellung. Das ist in etwa so, als wuerdest du stolz verkuenden, dass es zwischen $1$ und $n$ genau $...$ ungerade Zahlen gibt, und dann fragen, wie man damit jetzt die Anzahl der Primzahlen zwischen $1$ und $n$ bestimmt...
> Was muss ich jetzt noch tun, um die Anzahl der IRREDUZIBLEN
> normierten Polynome zu finden?!
Du brauchst einen anderen Ansatz.
Betrachte die Konstruktion eines endlichen Koerpers mit [mm] $p^q$ [/mm] Elementen. Wie wird das gemacht? (Zerfaellungskoerper eines Polynoms; welches Polynoms?)
Schau dir das Polynom [mm] $x^{p^q} [/mm] - x [mm] \in \IF_p[x]$ [/mm] an. Neben den offensichtlichen Linearfaktoren $x$ und $x - 1$ hat es eine Primfaktorzerlegung ueber [mm] $\IF_p[x]$. [/mm] Was kannst du ueber die irreduziblen Faktoren sagen?
Und wenn du zwei endliche Koerper [mm] $\IF_{p^k}$ [/mm] und [mm] $\IF_{p^\ell}$ [/mm] hast, wann (in Bezug auf $k$ und [mm] $\ell$) [/mm] gilt [mm] $\IF_{p^k} \subseteq \IF_{p^\ell}$ [/mm] (ueber eine geeignete Inklusionsabbildung)?
Darueber mach dir mal ein paar Gedanken und finde heraus, was du weisst. Wenn du keine Idee bekommst, schreib doch mal was hier hin was du darueber weisst. Dann kann man dir spezifischere Tipps geben.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Di 23.05.2006 | | Autor: | linder05 |
Hallo Felix,
danke für deine Antwort! Leider bin ich Körpertheorie noch nicht so sehr bewandert, aber ich wills versuchen...
Ich betrachte also einen Körper K als Vektorraum über [mm] \IF_{p}, [/mm] dessen Dimension q ist. Da dieser Körper endlich ist, ist er isomorph zu [mm] \IF_{p}^q. [/mm] Insbesondere hat er genau [mm] p^q [/mm] Elemente.
Die multiplikative Gruppe von K hat [mm] p^q-1 [/mm] Elemente (alle außer der Null). Für jedes Element a dieser Gruppe gilt: die Ordnung von a teilt die Gruppenordnung [mm] p^q-1.
[/mm]
Das hab ich alles gerade in der Literatur gefunden und verstanden, aber ich kann nicht nachvollziehen wie der Autor dann weiter folgert. Ein paar Zeilen weiter erwähnt er dann, das K der Zerfällungskörper von [mm] x^{p^q}-x [/mm] über [mm] \IF_{p} [/mm] ist...
Wie würdest du da hin kommen? Danke!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Di 23.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo linder!
> Ich betrachte also einen Körper K als Vektorraum über
> [mm]\IF_{p},[/mm] dessen Dimension q ist. Da dieser Körper endlich
> ist, ist er isomorph zu [mm]\IF_{p}^q.[/mm] Insbesondere hat er
> genau [mm]p^q[/mm] Elemente.
Genau.
> Die multiplikative Gruppe von K hat [mm]p^q-1[/mm] Elemente (alle
> außer der Null). Für jedes Element a dieser Gruppe gilt:
> die Ordnung von a teilt die Gruppenordnung [mm]p^q-1.[/mm]
Exakt. Also gilt (nach dem kleinen Satz von Fermat) [mm] $a^{p^q - 1} [/mm] = a$ fuer alle $a [mm] \in [/mm] K^*$. Insbesondere gilt also [mm] $a^{p^q} [/mm] - a = 0$, und dies gilt auch fuer $a = 0$. Damit sind alle Elemente aus $K$ Nullstellen des Polynoms [mm] $x^{p^q} [/mm] - x [mm] \in \F_p[x]$. [/mm] Da so ein Polynom hoechstens [mm] $p^q$ [/mm] verschiedene Nullstellen haben kann sind also die Elemente aus $K$ genau die Nullstellen von [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$, und sie sind alle einfache Nullstellen.
Wenn du jetzt irgendein irreduzibles normiertes Polynom $f$ von Grad $q$ hast, dann ist ja $K := [mm] \IF_p[x]/(f)$ [/mm] ein Koerper mit [mm] $p^q$ [/mm] Elementen. Sei [mm] $\alpha \in \IF_p[x](f)$ [/mm] die Restklasse von $x$. Dann ist [mm] $f(\alpha) [/mm] = 0$ in $K$, und $f$ ist das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber [mm] $\IF_p$ [/mm] (da es [mm] $\alpha$ [/mm] als Nullstelle hat und irreduzibel und normiert ist). Da [mm] $\alpha$ [/mm] aber auch eine Nullstelle von [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$ ist, folgt also, dass $f$ ein Teiler von [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$ ist.
Also ist jedes irreduzible Polynom von Grad $q$ ueber [mm] $\IF_p$ [/mm] ein Teiler von [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$.
Sei andersherum $f$ ein normiertes irreduzibles Polynon in [mm] $\IF_p[x]$, [/mm] welches [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$ teilt. Sei $K$ irgendein Zerfaellungskoerper von [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$ ueber [mm] $\IF_p$ [/mm] (also hat $K$ genau [mm] $p^q$ [/mm] Elemente). Insbesondere zerfaellt $f$ ueber $K$ in Linearfaktoren.
Sei [mm] $\alpha \in [/mm] K$ eine Nullstelle von $f$. Dann ist [mm] $\IF_p[\alpha]$ [/mm] ein Zwischenkoerper zwischen [mm] $\IF_p$ [/mm] und $K$, der isomorph zu [mm] $\IF_p[x]/(f)$ [/mm] ist, da $f$ das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber [mm] $\IF_p$ [/mm] ist (es ist normiert, irreduzibel und hat [mm] $\alpha$ [/mm] als Nullstelle).
Jetzt betrachte die Koerpergerade: Es ist $[K : [mm] \IF_p] [/mm] = q$ und [mm] $[\IF_p[\alpha] [/mm] : [mm] \IF_p] [/mm] = [mm] \deg [/mm] f$. Und jetzt schau dir mal den Multiplikationssatz fuer Koerpergerade an: Was sagt dieser ueber die Beziehung zwischen $q$ und [mm] $\deg [/mm] f$? Und was folgt daraus, wenn $q$ prim ist?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Sa 27.05.2006 | | Autor: | linder05 |
Hi Felix,
danke für deine Antwort! und sorry dass es bei mir jetzt ein wenig gedauert hat! Hatte erst Probleme mit dem Seitenaufbau und dann keine Zeit! Los gehts:
(...)
Da [mm]\alpha[/mm]
> aber auch eine Nullstelle von [mm]x^{p^q} - x[/mm] ist, folgt also,
> dass [mm]f[/mm] ein Teiler von [mm]x^{p^q} - x[/mm] ist.
Soweit bin ich jetzt mit dabei! Aber wie begründet man folgenden Satz:
>
> Also ist jedes irreduzible Polynom von Grad [mm]q[/mm] ueber [mm]\IF_p[/mm]
> ein Teiler von [mm]x^{p^q} - x[/mm].
?!?
Die folgende Passage ist mir größtenteils klar, aber was ist genau die Begründung, dass ein solches Polynom über K in Linearfaktoren zerfällt?!
> Sei andersherum [mm]f[/mm] ein normiertes irreduzibles Polynon in
> [mm]\IF_p[x][/mm], welches [mm]x^{p^q} - x[/mm] teilt. Sei [mm]K[/mm] irgendein
> Zerfaellungskoerper von [mm]x^{p^q} - x[/mm] ueber [mm]\IF_p[/mm] (also hat [mm]K[/mm]
> genau [mm]p^q[/mm] Elemente). Insbesondere zerfaellt [mm]f[/mm] ueber [mm]K[/mm] in
> Linearfaktoren.
Und der Rest ist mir leider noch nicht so klar, wie gesagt ich bin eigentlich erst bei Ringtheorie... Und wie lange dauert es dann noch bis man die gesuchte Anzahl gefunden hat?
Braucht man dafür wirklich alles, was du weiter unten noch geschrieben hast?
> Sei [mm]\alpha \in K[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm]. Dann ist
> [mm]\IF_p[\alpha][/mm] ein Zwischenkoerper zwischen [mm]\IF_p[/mm] und [mm]K[/mm], der
> isomorph zu [mm]\IF_p[x]/(f)[/mm] ist, da [mm]f[/mm] das Minimalpolynom von
> [mm]\alpha[/mm] ueber [mm]\IF_p[/mm] ist (es ist normiert, irreduzibel und
> hat [mm]\alpha[/mm] als Nullstelle).
>
> Jetzt betrachte die Koerpergerade: Es ist [mm][K : \IF_p] = q[/mm]
> und [mm][\IF_p[\alpha] : \IF_p] = \deg f[/mm]. Und jetzt schau dir
> mal den Multiplikationssatz fuer Koerpergerade an: Was sagt
> dieser ueber die Beziehung zwischen [mm]q[/mm] und [mm]\deg f[/mm]? Und was
> folgt daraus, wenn [mm]q[/mm] prim ist?
Vielen Dank!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:24 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo linder!
> danke für deine Antwort! und sorry dass es bei mir jetzt
> ein wenig gedauert hat! Hatte erst Probleme mit dem
> Seitenaufbau und dann keine Zeit! Los gehts:
> (...)
> Da [mm]\alpha[/mm]
> > aber auch eine Nullstelle von [mm]x^{p^q} - x[/mm] ist, folgt also,
> > dass [mm]f[/mm] ein Teiler von [mm]x^{p^q} - x[/mm] ist.
>
> Soweit bin ich jetzt mit dabei!
Ok. Bisher hab ich gezeigt: Ist $f [mm] \in \IF_p[x]$ [/mm] irreduzibel von Grad $q$, so ist $f$ ein Teiler von [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$.
> Aber wie begründet man
> folgenden Satz:
> >
> > Also ist jedes irreduzible Polynom von Grad [mm]q[/mm] ueber [mm]\IF_p[/mm]
> > ein Teiler von [mm]x^{p^q} - x[/mm].
>
> ?!?
Das ist genau die Aussage von dem davor 
> Die folgende Passage ist mir größtenteils klar, aber was
> ist genau die Begründung, dass ein solches Polynom über K
> in Linearfaktoren zerfällt?!
>
> > Sei andersherum [mm]f[/mm] ein normiertes irreduzibles Polynon in
> > [mm]\IF_p[x][/mm], welches [mm]x^{p^q} - x[/mm] teilt. Sei [mm]K[/mm] irgendein
> > Zerfaellungskoerper von [mm]x^{p^q} - x[/mm] ueber [mm]\IF_p[/mm] (also hat [mm]K[/mm]
> > genau [mm]p^q[/mm] Elemente). Insbesondere zerfaellt [mm]f[/mm] ueber [mm]K[/mm] in
> > Linearfaktoren.
Also [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$ zerfaellt ueber $K$ in Linearfaktoren (da $K$ Zerfaellungskoerper von genau diesem Polynom), womit auch jeder Teiler von [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$ in Linearfaktoren zerfaellt, insbesondere also $f$.
> Und der Rest ist mir leider noch nicht so klar, wie gesagt
> ich bin eigentlich erst bei Ringtheorie... Und wie lange
> dauert es dann noch bis man die gesuchte Anzahl gefunden
> hat?
> Braucht man dafür wirklich alles, was du weiter unten noch
> geschrieben hast?
>
> > Sei [mm]\alpha \in K[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm]. Dann ist
> > [mm]\IF_p[\alpha][/mm] ein Zwischenkoerper zwischen [mm]\IF_p[/mm] und [mm]K[/mm], der
> > isomorph zu [mm]\IF_p[x]/(f)[/mm] ist, da [mm]f[/mm] das Minimalpolynom von
> > [mm]\alpha[/mm] ueber [mm]\IF_p[/mm] ist (es ist normiert, irreduzibel und
> > hat [mm]\alpha[/mm] als Nullstelle).
> >
> > Jetzt betrachte die Koerpergerade: Es ist [mm][K : \IF_p] = q[/mm]
> > und [mm][\IF_p[\alpha] : \IF_p] = \deg f[/mm]. Und jetzt schau dir
> > mal den Multiplikationssatz fuer Koerpergerade an: Was sagt
> > dieser ueber die Beziehung zwischen [mm]q[/mm] und [mm]\deg f[/mm]? Und was
> > folgt daraus, wenn [mm]q[/mm] prim ist?
Das meiste kann man recht direkt beweisen. Die wichtigste Zutat ist jedoch der Multiplikationssatz fuer Koerpergerade, der gerade $[M : K] = [M : L] [mm] \cdot [/mm] [L : M]$ aussagt fuer Koerper $K, M, L$ mit $K [mm] \subseteq [/mm] L [mm] \subseteq [/mm] M$. (Und $[M : K] = [mm] \dim_K [/mm] M$, also die Dimension von $M$ aufgefasst als $K$-Vektorraum; analog fuer $[M : L]$ und $[L : K]$.) Falls ihr den nicht hattet, ist es vielleicht geschickter es anders zu machen...
Wie lange man dann noch braucht: Aus dem Multiplikationssatz folgt [mm] $\deg [/mm] f = 1$ oder [mm] $\deg [/mm] f = q$, da [mm] $\deg [/mm] f = [mm] [\IF_p[\alpha] [/mm] : [mm] \iF_p]$ [/mm] ist und das ein Teiler von $q$ sein muss. Und [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$ hat genau zwei Teiler von Grad $1$, naemlich $x$ und $x - 1$, womit [mm] $\frac{x^{p^q} - x}{x (x - 1)}$ [/mm] gerade das Produkt von irreduziblen Polynomen von Grad $q$ sein muss. Und da [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$ keine doppelten Nullstellen im Zerfaellungskoerper hat teilt jedes solche irreduzible Polynom [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$ genau einmal (und nicht etwa oefter). Also ist die gesuchte Anzahl [mm] $\frac{p^q - 2}{q}$. [/mm] Und insbesondere ist [mm] $\frac{p^q - 2}{q} \in \IN$, [/mm] was ja auch nicht gerade offensichtlich ist
Nun zum Rest. Da ich nicht genau weiss was du nicht weisst, hier ein paar mehr Details:
- [mm] $\IF_p[\alpha] \cong \IF_p[x]/(f)$ [/mm] folgt daraus, dass der Kern von [mm] $\IF_p[x] \to \IF_p[\alpha]$ [/mm] mit $x [mm] \mapsto \alpha$ [/mm] gerade das Ideal $(f)$ ist. (Der Kern umfasst $f$, und da $f$ irreduzibel ist muss der Kern entweder $(f)$ oder [mm] $\IF_p[x]$ [/mm] sein; zweiteres kann jedoch nicht sein...)
Damit ist [mm] $\IF_p[\alpha] \cong \IF_p[x]/(f)$, [/mm] womit [mm] $[\IF_p[\alpha] [/mm] : [mm] \IF_p] [/mm] = [mm] [\IF_p[x]/(f) [/mm] : [mm] \IF_p] [/mm] = [mm] \deg [/mm] f$ ist.
So. Jetzt brauchst du den Multiplikationssatz. Hattet ihr den schon?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 So 28.05.2006 | | Autor: | linder05 |
Ok, also das folgende ist mir klar:
> > > Sei [mm]\alpha \in K[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm]. Dann ist
> > > [mm]\IF_p[\alpha][/mm] ein Zwischenkoerper zwischen [mm]\IF_p[/mm] und [mm]K[/mm], der
> > > isomorph zu [mm]\IF_p[x]/(f)[/mm] ist, da [mm]f[/mm] das Minimalpolynom von
> > > [mm]\alpha[/mm] ueber [mm]\IF_p[/mm] ist (es ist normiert, irreduzibel und
> > > hat [mm]\alpha[/mm] als Nullstelle).
Den Multiplikationssatz (bzw. bei uns: "Gradformel") kenne ich (mittlerweile) auch. Frage: Hattest du für obiges f voraus gesetzt dass f vom grad q ist, oder war die Vorgabe lediglich normiert und irreduzibel in [mm] \IF_p? [/mm] Falls letzteres der Fall ist, wäre es nicht besser dem Polynom eine anderen Namen zu geben als f? Schließlich war f in der vorherigen Argumentation vom Grad q...
> > > Jetzt betrachte die Koerpergerade: Es ist [mm][K : \IF_p] = q[/mm]
> > > und [mm][\IF_p[\alpha] : \IF_p] = \deg f[/mm]. Und jetzt schau dir
> > > mal den Multiplikationssatz fuer Koerpergerade an: Was sagt
> > > dieser ueber die Beziehung zwischen [mm]q[/mm] und [mm]\deg f[/mm]? Und was
> > > folgt daraus, wenn [mm]q[/mm] prim ist?
Der folgende Satz ist mir auch klar:
Aus dem Multiplikationssatz folgt [mm]\deg f = 1[/mm] oder [mm]\deg f = q[/mm], da
> [mm]\deg f = [\IF_p[\alpha] : \iF_p][/mm] ist und das ein Teiler von
> [mm]q[/mm] sein muss.
Über das folgende sollten wir nochmal reden: dass 0 und 1 Nullstellen und somit [mm]x[/mm] und [mm]x - 1[/mm] Teiler vom Grad 1 sind, ist mir klar. Aber wieso gibt es keine weiteren Teiler vom Grad 1? Und wieso muss der Rest dann das Produkt von irreduziblen Polynomen von Grad [mm]q[/mm] sein?!
Und wie kommst du daraus auf die Anzahl [mm]\frac{p^q - 2}{q}[/mm]? Und lautet die richtige Lösung nicht [mm]\frac{p^q - p}{q}[/mm]?
Und [mm]x^{p^q} - x[/mm] hat genau zwei Teiler von Grad
> [mm]1[/mm], naemlich [mm]x[/mm] und [mm]x - 1[/mm], womit [mm]\frac{x^{p^q} - x}{x (x - 1)}[/mm]
> gerade das Produkt von irreduziblen Polynomen von Grad [mm]q[/mm]
> sein muss. Und da [mm]x^{p^q} - x[/mm] keine doppelten Nullstellen
> im Zerfaellungskoerper hat teilt jedes solche irreduzible
> Polynom [mm]x^{p^q} - x[/mm] genau einmal (und nicht etwa oefter).
> Also ist die gesuchte Anzahl [mm]\frac{p^q - 2}{q}[/mm]. Und
> insbesondere ist [mm]\frac{p^q - 2}{q} \in \IN[/mm], was ja auch
> nicht gerade offensichtlich ist
1000 Dank für deine Mühe!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok, also das folgende ist mir klar:
>
> > > > Sei [mm]\alpha \in K[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm]. Dann ist
> > > > [mm]\IF_p[\alpha][/mm] ein Zwischenkoerper zwischen [mm]\IF_p[/mm] und [mm]K[/mm], der
> > > > isomorph zu [mm]\IF_p[x]/(f)[/mm] ist, da [mm]f[/mm] das Minimalpolynom von
> > > > [mm]\alpha[/mm] ueber [mm]\IF_p[/mm] ist (es ist normiert, irreduzibel und
> > > > hat [mm]\alpha[/mm] als Nullstelle).
>
> Den Multiplikationssatz (bzw. bei uns: "Gradformel") kenne
> ich (mittlerweile) auch.
Gut Ohne den ist es wahrscheinlich recht muehsam, bzw. man muss ihn (in einem Spezialfall) beweisen...
> Frage: Hattest du für obiges f
> voraus gesetzt dass f vom grad q ist, oder war die Vorgabe
> lediglich normiert und irreduzibel in [mm]\IF_p?[/mm]
Ich hab vorausgesetzt, dass $f$ normiert und irreduzibel in [mm] $\IF_p[x]$ [/mm] ist so, dass $f$ ein Teiler von [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$ ist.
> Falls
> letzteres der Fall ist, wäre es nicht besser dem Polynom
> eine anderen Namen zu geben als f? Schließlich war f in der
> vorherigen Argumentation vom Grad q...
Wenn du willst kannst du das tun
> > > > Jetzt betrachte die Koerpergerade: Es ist [mm][K : \IF_p] = q[/mm]
> > > > und [mm][\IF_p[\alpha] : \IF_p] = \deg f[/mm]. Und jetzt schau dir
> > > > mal den Multiplikationssatz fuer Koerpergerade an: Was sagt
> > > > dieser ueber die Beziehung zwischen [mm]q[/mm] und [mm]\deg f[/mm]? Und was
> > > > folgt daraus, wenn [mm]q[/mm] prim ist?
>
> Der folgende Satz ist mir auch klar:
>
> > Aus dem Multiplikationssatz folgt [mm]\deg f = 1[/mm] oder [mm]\deg f = q[/mm],
> > da [mm]\deg f = [\IF_p[\alpha] : \iF_p][/mm] ist und das ein Teiler von
> > [mm]q[/mm] sein muss.
>
> Über das folgende sollten wir nochmal reden: dass 0 und 1
> Nullstellen und somit [mm]x[/mm] und [mm]x - 1[/mm] Teiler vom Grad 1 sind,
> ist mir klar. Aber wieso gibt es keine weiteren Teiler vom
> Grad 1?
Uh, da hab ich mich vertan! Jedes Element aus [mm] $\IF_p$ [/mm] ist auch eine Nullstelle von [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$, womit du mindestens $p$ Linearfaktoren hast. Und da das Polynom nur einfache Nullstellen hat, gibt es also genau $p$ Linearfaktoren. Damit kommt man dann auf [mm] $\frac{p^q - p}{q}$...
[/mm]
> Und wieso muss der Rest dann das Produkt von
> irreduziblen Polynomen von Grad [mm]q[/mm] sein?!
Mit dem obigen ist jeder irreduzible Teiler [mm] $x^{p^q} [/mm] - x$ von Grad 1 oder von Grad $q$. Da es genau $p$ Teiler von Grad 1 gibt, muessen alle anderen Teiler Grad $q$ haben...
> Und wie kommst du daraus auf die Anzahl [mm]\frac{p^q - 2}{q}[/mm]?
> Und lautet die richtige Lösung nicht [mm]\frac{p^q - p}{q}[/mm]?
s.o., [mm] $\frac{p^q - p}{q}$ [/mm] ist richtig...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Di 13.06.2006 | | Autor: | linder05 |
Eine Frage bleibt doch noch:
Oben ist die Rede von dem Minimalpolynom von [mm] \alpha. [/mm] wenn ich jetzt ein anderes polynom habe, dass ebenfalls [mm] \alpha [/mm] als Nullstelle hat, warum ist dann das Minimalpolynom immer ein Teiler dieses Polynoms? Oder anders ausgedrückt, warum ist dieses Polynom dann immer ein (Polynom-)Vielfaches des Minimalpolynoms?
Das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] ist das normierte irreduzible Polynom kleinesten Grades, welches [mm] \alpha [/mm] als Nullstelle hat.
Ich habe diese Eigenschaft schon ein paar Mal wo gelesen, aber immer ohne Begründung/Beweis...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Di 13.06.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Linder,
das folgt sofort aus dem Euklidschen Algorithmus für Polynome. Man teilt das andere Polynom höheren Grades durch das Minimalpol. mit Rest und überlegt sich, daß der Rest das Nullpol. sein muß.
Oleeeh---oleholeholeh
Dieter
|
|
|
|
